Расчёт распространения тепла вдоль многослойного цилиндра

ГОУ ВПО «Сургутский государственный университет

Ханты-Мансийского автономного округа — Югры»

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа по предмету «Численные методы» на тему

Расчёт распространения тепла вдоль многослойного цилиндра

Выполнил студент группы 11 – 71 факультета Информационных технологий

Илинбаев Николай Геннадьевич

Проверил к.ф.-м.н., доцент кафедры ПМ

Моргун Дмитрий Алексеевич

« »

Сургут — 2010

Содержание

1 Введение

К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распротранения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, квантовой механики и многие другие.

Уравнения математической физики используются для расчётов распространения тепла, концентрации, волн. Для просмотра изменений температуры в различных точках заданной области применимы формулы теплопроводности. В данной работе рассматривается однородное уравнение теплопроводности и его решение интегро-интерполяционным методом.

Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых решений таких уравнений физически правильное обобщённое решение.

2 Решение задачи

2.1 Интегро-интерполяционный метод

Интегро-интерполяционный метод, один из вариантов которого называется методом баланса , наиболее надёжен и применим во всех случаях. В этом методе после выбора шаблона область G(r,t) разбивают на ячейки, определённым образом связанные с шаблоном. Дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и по формулам векторного анализа приводят к интегральной форме, соответствующей физическому закону сохранения. Приближенно вычисляя полученные интегралы по каким-либо квадратурным формулам, составляют разностную схему.

Например, для установления теплопроводности с переменным коэфициентом u _t = ( ku _x ) _x выберем шаблон и сопосавим ему ячейку. Обозначая средние точки интервалов сетки полуцелыми индексами, выполним интегрирование по ячееке:

Это соотношение является точным. В правой части приближенно вычислим первый интеграл по формуле правых прямоугольников. Получим следущиее выражение:

( y ˆ n − y n )( x n +1 / 2 − x n −1 / 2 ) = τ [( k ˆ y ˆ x ) n +1 / 2 − ( k ˆ y ˆ x ) n −1 / 2 ] (2)

Заменяя в правой части производные разностями и учитывая, что на равномерной сетке x _{n +1 / 2} − x _{n −1 / 2} = h , получим разностную схему

(3)

Если k = const , то схема совпадает с неявной схемой.

Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых решений таких уравнений физически правильное обобщённое решение.

3 Тестовые расчеты

Решим тестовую задачу. Зададим начальные значения: начальная температура по всему цилиндру = 1; температура на левом конце стержня = 10; температура на правом конце стержня = 15; коэфициенты теплопроводности K1=7, K2=35, K3=7.

Тогда расчеты изменений температуры дадут следущие результаты. Полученные графики:

Рис.1. График распределения температуры при t ₁ .

Рис.2. График распределения температуры при t ₂ .

Рис.3. График распределения температуры при t ₃ .

Рис.4. График распределения температуры при t ₄ .

Рис.5. График распределения температуры при t ₅ .

Из графиков видно, что температура плавно возрастает от краёв цилиндра к его середине.

4 Заключение

Поставленная задача на расчёт распространения тепла вдоль многослойного цилиндра успешно завершена. Начальные данные для решаемой задачи: температура на левом конце цилиндра, температура на правом конце цилиндра, коэфициенты теплопроводности на разных участках цилиндра. При вводе начальных данных в задачу просматриваются изменения температуры, продвигающиеся от концов цилиндра к его середине.

5 Литература

Список литературы

1. Калиткин Н. Н. Численные методы. М: Наука, 1978.

6 Приложение

Код программы: [1] unit part1; {$mode objfpc}{$H+} interface

uses

Classes, SysUtils, FileUtil, LResources, Forms, Controls, Graphics, Dialogs,

Buttons, ExtCtrls, Menus, StdCtrls, ComCtrls, Arrow, CheckLst, ActnList,

TAGraph, TASeries; type

{ TForm1 }

TForm1 = class(TForm)

K1Edit: TLabeledEdit;

K2Edit: TLabeledEdit;

K3Edit: TLabeledEdit; Uslovie: TBitBtn;

BtStart1: TBitBtn;

BtClose: TBitBtn;

Chart1: TChart;

Chart1LineSeries1: TLineSeries;

Label1: TLabel;

L

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать