Представление бинарного дерева в виде массива

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций»

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ТЕМА:

«ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕРЕВЬЕВ В ВИДЕ МАССИВА»

Выполнил студент 2 курса

группы ИП-21:

Мальцев Валерий

Проверил:

Нырков Анатолий Павлович

Санкт-Петербург

2009 г.

Содержание

Деревья. 3

Терминология деревьев. 4

Бинарные деревья. 5

Представление бинарных деревьев. 9

Приложение. 12

Текст программы.. 13

Список литературы.. 15

Д еревья

Массивы и связанные списки определяют коллекции объектов, доступ к которым осуществляется последовательно. Такие структуры данных называют линейными (linear) списками, поскольку они имеют уникальные первый и последний элементы и у каждого внутреннего элемента есть только один наследник. Линейный список является абстракцией, позволяющей манипулировать данными, представляемыми различным образом — массивами, стеками, очередями и связанными списками.

Во многих приложениях обнаруживается нелинейный порядок объектов, где элементы могут иметь нескольких наследников. Например, в фамильном дереве родитель может иметь нескольких потомков (детей). На Рис. 1 показаны три поколения семьи. Такое упорядочение называют иерархическим.

Рис.1.

В этой статье мы рассмотрим нелинейную структуру, называемую деревом (tree), которая состоит из узлов и ветвей и имеет направление от корня к внешним узлам, называемым листьями. Эти структуры подобны коммуникационной сети, показанной на Рис. 2, требуют особых алгоритмов и применяются в специальных приложениях.

Рис. 2

Терминология деревьев

Древовидная структура характеризуется множеством узлов (nodes), происходящих от единственного начального узла, называемого корнем (root). На Рис. 3 корнем является узел А. В терминах генеалогического дерева узел можно считать родителем (parent), указывающим на 0, 1 или более узлов, называемых сыновьями (children). Например, узел В является родителем сыновей E и F. Родитель узла H - узел D. Дерево может представлять несколько поколений семьи. Сыновья узла и сыновья их сыновей называются потомками (descendants), а родители и прародители – предками (ancestors) этого узла. Например, узлы E, F, I, J – потомки узла B. Каждый некорневой узел имеет только одного родителя, и каждый родитель имеет 0 или более сыновей. Узел, не имеющий детей (E, G, H, I, J), называется листом (leaf).

Каждый узел дерева является корнем поддерева (subtree), которое определяется данным узлом и всеми потомками этого узла. Узел F есть корень поддерева, содержащего узлы F, I и J. Узел G является корнем поддерева без потомков. Это определение позволяет говорить, что узел A есть корень поддерева, которое само оказывается деревом.

Рис.3.

Переход от родительского узла к дочернему и к другим потомкам осуществляется вдоль пути (path). Например, на Рис. 4 путь от корня A к узлу F проходит от A к B и от B к F. Тот факт, что каждый некорневой узел имеет единственного родителя, гарантирует, что существует единственный путь из любого узла к его потомкам. Длина пути от корня к этому узлу есть уровень узла. Уровень корня равен 0. Каждый сын корня является узлом 1-го уровня, следующее поколение – узлами 2-го уровня и т.д. Например, на Рис. 4 узел F является узлом 2-го уровня с длиной пути 2.

Глубина (depth) дерева есть его максимальный уровень. Понятие глубины также может быть описано в терминах пути. Глубина дерева есть длина самого длинного пути от корня до узла.

На Рис.4 глубина дерева равна 3.

Рис.4. Уровень узла и длина пути

Бинарные деревья

Хотя деревья общего вида достаточно важны, мы сосредоточимся на ограниченном классе деревьев, где каждый родитель имеет не более двух сыновей (Рис. 5). Такие бинарные деревья (binary trees) имеют унифицированную структуру, допускающую разнообразные алгоритмы прохождения и эффективный доступ к элементам. Изучение бинарных деревьев дает возможность решать наиболее общие задачи, связанные с деревьями, поскольку любое дерево общего вида можно представить эквивалентным ему бинарным деревом.

У каждого узла бинарного дерева может быть 0, 1 или 2 сына. По отношению к узлу слева будем употреблять термин левый сын (left child), а по отношению к узлу справа – правый сын (right child). Наименования "левый" и "правый" относятся к графическому представлению дерева. Бинарное дерево является рекурсивной структурой. Каждый узел – это корень своего собственного поддерева. У него есть сыновья, которые сами являются корнями деревьев, называемых левым и правым поддеревьями соответственно. Таким образом, процедуры обработки деревьев рекурсивны. Вот рекурсивное определение бинарного дерева:

Бинарное дерево - это такое множество узлов B, что

а) B является деревом, если множество узлов пусто (пустое дерево – тоже дерево);

б) B разбивается на три непересекающихся подмножества:

· {R} корневой узел

· {L1, L2, ..., Lm} левое поддерево R

· {R1, R2, ..., Rm} правое поддерево R

На любом уровне n бинарное дерево может содержат

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать