Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ

Министерство образования РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра экономической информатики

Курсовая работа

по дисциплине "Численные методы"

Тема: Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ

Группа:

Выполнил:

Проверила: Сарычева О.М.

Новосибирск 2011 г.

Содержание

Введение

1. Постановка задачи (математическое описание метода)

2. Описание программного обеспечения

2.1 Общие сведения и требования к ПО и описание логической структуры

3. Описание тестовых задач

4. Анализ результатов

Заключение

Используемая литература

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрен метод продолжения решения по параметру, с помощью которого можно эффективно находить корни нелинейных САУ. В работе исследуется влияние вектора начальных приближений x 0 и заданной точности решения ε_gon на число итераций, время счета и сходимость метода. Так же дается описание программного обеспечения и тексты программ, использованные в данной работе для построения графиков сходимости метода для различных начальных значений вектора x0 , графики ошибки.

1. Постановка задачи (математическое описание метода)

Метод продолжения решения по параметру является наиболее универсальным при решении нелинейных САУ. Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до1. Введем в рассмотрение некоторую САУ

H (x, t) =0,

такую, что:

1) При t=0 система H (x, 0) =0 имеет решение x0 ;

2) При t=1 система H (x, 1) =0 имеет решение x* ;

3) Вектор-функция H (x, t) непрерывна по t. Тогда меняя t от 0 до 1 и решая для каждого t_i систему H (x, t_i) =0, например, методом Ньютона, можно найти последовательно x0 , x1 , x2 , …, x* .

Так как x0 при t=0 известно, то всегда можно найти t₁ , достаточно близкое к t₀ , при котором будут выполняться условия сходимости, например, метода Ньютона. Аналогично можно обеспечить условия сходимости метода Ньютона и для t₂ , t₃ ,…, t=1.

Вектор-функция H ( x, t) может быть выбрана различными способами. Рассмотрим три распространенных варианта:

1) H (x, t) =F (x) + (t-1) *F (x0 ) =0

При t=0 получаем: F (x0 ) - F (x0 ) =0, т.е. условие 1) выполнено.

При t=1 F (x* ) - (1-1) * F (x0 ) =F (x* ) =0. И, наконец, вектор-функция H (x, t) непрерывна по t.

2) H (x, t) =t*F (x).

Условия 1) - 3) соблюдаются и для этой вектор-функции.

Идея метода состоит в следующем. Полагаем t₁₌ ∆t и решаем систему H (x, t₁ ) =0 при выбранном x0 . Получаем xt ₁ . Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом t₂ =t₁ +∆t систему H (x, t₂ ) =0, получаем xt ₂ и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Нелинейные системы H (x, t_i ) =0 на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как xt _i-1 и xt _i лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение xt _i не получается за 6-7 итераций, ∆t уменьшается и система H (x, t_i ) =0 решается снова.

Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в следующем:

Шаг 1. Формирование системы H ( x, t) =0.

Шаг 2. Выбор начального приближения x0 , (например, x0 =0) и точности решения ε_gon .

Шаг 3. Полагаем i=1.

Шаг 4. Вычисляем t_i =t_i-1 +∆t (обычно вначале берут ∆t=0,1)

Шаг 5. Решаем систему H (x, t_i ) =0. Получаем вектор xt _i . При этом считаем число итераций m. Если m>10, значит метод Ньютона уже не сойдется, так как xt _i-1 и xt _i слишком далеки друг от друга. Тогда надо уменьшить ∆t в два раза и вернуться к шагу 4. Будем считать, что xt _i найдено.

Шаг 6. Проверяем, достигли ли мы заданной точности. Например, используя первый способ,

|| xt _i -xt _i-1 || ≤ ε_gon .

Если последнее условие не соблюдается, то переходим к шагу 4. Иначе считаем, что x*= xt _i и расчеты закончены.

2. Описание программного обеспечения 2.1 Общие сведения и требования к ПО и описание логической структуры

ПО состоит из следующих файлов: mpr. m, prog. m, funf. m, funj. m. Программы, реализующие метод, разработаны в среде МаtLab, предназначенной для выполнения математических операций. Программа состоит из программы-функции mpr. m, которая описывает метод, программы с данными - основная программа prog. mи двух подпрограмм-функций funf. m - для нахождения корней системы уравнений; funj. m - для нахождения матрицы Якоби. Рассмотрим

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать