Исследование кривых и поверхностей второго порядка

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

по линейной алгебре и аналитической геометрии

на тему:

Исследование кривых и поверхностей второго порядка

Дубна, 2002

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Теоретическая часть

Практическая часть

ВЫВОД

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Теоретическая часть

Практическая часть

ВЫВОД

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

Цель

1. Целью данной курсовой работы является исследование кривой и формы поверхности второго порядка. Закрепление полученных теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

2. Ознакомление с пакетами программ Microsoft® Word и Microsoft® Excel.

Постановка задачи

I . Для данного уравнения кривой второго порядка:

1. Определить тип данной кривой с помощью инвариантов.

2. Привести уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

3. Найти фокусы, директрисы и ассимптоты данной кривой (если они есть).

4. Построить каноническую систему координат и данную кривую в общей системе координат.

II . Для данного канонического уравнения поверхности второго порядка:

1. Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях;

2. Построить поверхность в канонической системе координат.

Исследование кривой второго порядка

Теоретическая часть

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:

. (1.1)

Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XO ¢ Y , что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

1) , а ³b > 0 — эллипс,

2) — мнимый эллипс,

3) — две мнимые пересекающиеся прямые

(точка),

4) — гипербола,

5) — две пересекающиеся прямые,

6) — парабола,

7) — две параллельные прямые,

8) — две мнимые параллельные прямые,

9) — две совпадающие прямые.

В этих уравнениях a ,b ,p — положительные параметры.

Систему координат XO¢Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy — общей системой координат.

Вывод

Исследовав общее уравнение кривой второго порядка и приведя его к каноническому виду, мы установили, что данная кривая — эллипс. Мы получили каноническое уравнение гиперболы при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей.

Исследование формы поверхности второго порядка

Теоретическая часть

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

,

где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Уравнение (3.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S , а систему координатOxyz называют общей системой координат .

Теорема: Для произвольной поверхности S , заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

1) — эллипсоид,

2) — мнимый эллипсоид,

3) — однополостный гиперболоид,

4) — двуполостный гиперболоид,

5) — конус,

6) — мнимый конус (точка),

7) — эллиптический параболоид,

8) — гиперболический параболоид,

9) — эллиптический цилиндр,

10) — мнимый эллиптический цилиндр,

11) — две мнимые пересекающиеся плоскости (ось

O 'Z ),

12) — гиперболический цилиндр,

13) — две пересекающиеся плоскости,

14) — параболический цилиндр,

15) — две параллельные плоскости,

16) — две мнимые параллельные плоскости,

17) — две совпадающие плоскости (плоскость XOZ ).

В выше перечисленных уравнениях a , b , c , p ­— положительные параметры. Систему координат называют канонической.

Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями

Если дано каноническое уравнение поверхности S , то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

Z = h — параллельными координатной плоскости XO ' Y ,

X = h — параллельными координатной плоскости YO ' Z ,