Геометрия чисел

Министерство Образования Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Хабаровский Государственный Педагогический Университет Кафедра математического анализа и информатики

Курсовая работа

“Геометрия чисел”

Выполнил: =PeppeR=

Научный руководитель: доцент кафедры

мат. анализа и информатики

кандидат физ.-мат. наук

Хабаровск – 2004 Содержание.

1. Введение. 2

2. Постановка задачи. 3

3. Основная задача геометрии чисел. 4

4. Теорема Минковского. 6

5. Доказательство теоремы Минковского. 7

6. Решётки. 10

7. Критические решётки. 13

8. «Неоднородная задача». 17

9. Список литературы. 18

Введение. Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому. Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является сле­дующая задача.

Пусть f(х₁ ,…,x_n )— функция вещественных аргументов, прини­мающая вещественные значения. Как мал может быть ïf(u₁ ,…,u_n )ïпри подходящем выборе целых чисел u₁ ,…,u_n ? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х₁ ,…,x_n )является однородной формой; в этом случае совокупность значений u₁ = u₂ = ... = u_n = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для кон­кретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть

f(x₁ ,x₂ ) = a₁₁ x₁ 2 + 2a₁₂ x₁ x2 + a₂₂ x₂ 2 (1)

- положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такие целые числа u₁ ,u₂ , не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство

f(u₁ ,u₂ ) £ (4D/3)1/2 (2)

где D = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ 2 – определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он является наилучшим. Действительно,

u₁ 2 + u₁ u₂ + u₂ 2 ³ 1

для всех пар целых чисел u₁ ,u₂ , не равных одновременно нулю; здесь D = 3/4.

Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных форм крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения геометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичных формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений.

Только что сформулированный результат можно выразить на­глядно. Неравенство типа

f(x₁ ,x₂ ) £k,

где f(x₁ ,x₂ ) — форма (1), а k — некоторое положительное число, задает область Âплоскости {x₁ ,x₂