Дифференциальные уравнения

Министерство образования РФ

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Филиал "Восход"

Кафедра МиПОИС

Курсовая работа

по курсу: Дифференциальные уравнения

Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.

Байконур 2005 г.

1. Теоретическая часть

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:

Возможны три случая:

1) Когда C₁ =C₂ =0

2) Когда

Когда

Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:

Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: , не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид , а само уравнение: . Полученное уравнение является однородным

2. Практическая часть

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:

Проинтегрируем выражение:

Ответ:

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

Следовательно, исходное уравнение является однородным.

Пусть

Произведём замену в исходном уравнении:

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:

Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:

Но

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл:

Решение:

- дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному

Введём новые элементы:

,

где h и k должны удовлетворять уравнениям:

откуда

Таким образом:

откуда

Подставляя это в исходное уравнение, получим

Или

Сделаем подстановку:

-

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Упростим левую часть выражения

1+z=A(z-1)+Bz

Z1 : 1=A+B A=-1

z0 : 1=-A B=2

Проинтегрируем уравнение (**)

ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C

Пропотенцируем и подставим значение z в выражение

Упрощая данное выражение, получим:

Ответ:

Задача 4. Найти решение задачи Коши:

Решение:

– линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:

a)

Разделим переменные:

Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:

б)

Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:

Следовательно:

Найдём значение С₂

y|_{п /4} =1/2

Ответ:

Задача 5. Решить задачу Коши:

Решение:

- линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:

Ответ:

Задача 6. Найти решение задачи Коши: , y(0)=1

Решение:

- уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y2 ):

Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:

z=y-1

Следовательно:

- линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:

Откуда:

Найдём значение С₂

Следовательно:

Ответ:

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции

(*)

Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:

Дифференцируя полученное, имеем:

Но

Откуда:

Следовательно:

Ответ:

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:

Откуда

В результате получим следующий график:

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М₀ и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направление

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать