Теоремы Силова

ВВЕДЕНИЕ

Строение абелевых групп во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные подгруппы также играют существенную роль. Теорема, доказанная норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конечных групп. Она неоднократно обобщалась в разных направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.), так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами. Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Говорят, что группа G действует на множестве М, если для каждых элементов, определен элемент , причем и me=m для всех , ; здесь e — единица группы G. Множество называется орбитой элемента m. Очевидно, орбиты любых двух элементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество М разбивается на непересекающиеся орбиты. Людвиг Силов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow — фонетически правильней транслитерация «Сюлов»; 1832—1918) — норвежский математик. Автор нескольких работ по теории эллиптических функций и по теории групп. С 1858 по 1898 годы был учителем в школе в городе Фредериксхальд. В 1862 году Силов заменил профессора по теории Галуа в университете Христиании, где он поставил задачу, которая привела к наиболее важному результату его жизни — так называемым теоремам Силова, опубликованным в 1872 году.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕМЫ СИЛОВА

Пусть G – конечная группа, а р – простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка pt называются р-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по р, то есть | G | = pn s , где s не делится на р. Тогда силовской р-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок pn . Под N(P) понимается нормализатор подгруппы Р в G.

Теорема 1.(первая теорема Силова).

Силовские р-подгруппы существуют.

Доказательство.

Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс K_a , порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pn r, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

Теорема 2.(вторая теорема Силова).

Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg − 1 , где g — элемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).

Доказательство

Итак, пусть силовские р-подгруппы в Gсуществуют и Р — одна из них. Пусть, далее, — произвольная р-подгруппа группы G, не обязательно силовская. Заставим действовать левыми сдвигами на множестве левых смежных классов Gпо Р. Длина любой орбиты относительно делит порядок ,. Таким образом,

где,... — длины орбит. Так как НОД(m,p) = 1, то хотя бы одна орбита имеет длину pki = 1, т. е.

(1)

для некоторого элемента. Переписав соотношение (1) в виде, мы приходим к заключению, что

(2)

(поскольку — группа). В частности, если — силовская р-подгруппа, то | | = |Р|, и из (2) следует, что =.

Теорема 3(третья теорема Силова).

Количество силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю pи делит порядок G.

Доказательство.

Рассмотрим несколько более общую ситуацию. Именно, пусть , где , t может делится на p, и пусть - число всех подгрупп порядка в G. Оказывается, что имеет место сравнение , в частности, G содержит подгруппы любого порядка , s=1,2,…,n и .

Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами группы G на себе индуцирует действие Gна множестве

всех -элементных подмножеств . Причём . Множество разбивается на G-орбиты , так что

,

где - стационарная подгруппа некоторого представителя .

Так как , то - объединение нескольких правых смежных классов G по . Поэтому , откуда . В случае имеем . Равенства и эквивалентны. Получаем

(- некоторый элемент из G) и, стало быть, - подгруппа порядка . Орбита исчерпывается некоторым числом левых смежных классов группы G по .

Обратно: каждая подгруппа порядка приводит к орбите длины t. Различные подгруппы с приводят к различным орбитам , поскольку из следует , откуда и . Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами порядка и орбитами длины t. Тогда сравнение записывается как

Где следовало бы напи

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать