Математические методы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КОЛЛЕДЖ УПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАТИКИ И СЕРВИСА (ИМСИТ)

Курсовая работа

по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ»

Вариант 3.

Выполнил:

студент группы ПО-3-3

специальности 230105

«Программное обеспечение

вычислительной техники и

автоматизированных систем»

Горбунов Дмитрий Валерьевич

Проверил:

Шихина В. А.

Краснодар, 2006

СОДЕРЖАНИЕ

Введение … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 2 Графический метод решения задач … … … … … … … … … … … … … … … … 3

Теория двойственности … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... 6

Симплексный метод … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 10

Транспортная задача … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 13

Список использованной литературы … … … … … … … … … … … … … … … … 24

ВВЕДЕНИЕ

Исследование операций — научная дисциплина, занимающая­ся разработкой и практическим применением методов наибо­лее эффективного управления различными организационными системами.

Управление любой системой реализуется как процесс, подчи­няющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществле­ния данного процесса. Для этого все параметры, характеризую­щие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. Следовательно, цель исследования операций — количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

При решении конкретной задачи управления применение ме­тодов исследования операций предполагает:

• построение экономических и математических моделей для
задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях
неопределенности;

• изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии при­нятие решений, и установление критериев эффективности,
позволяющих оценивать преимущество того или иного вариан­та действия.

Примерами задач исследования операций, отражающих его специфику, могут служить следующие задачи.

Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными

Графический метод используется для решения задач с двумя переменными следующего вида:

Z(X) = c₁ x₁ + c₂ x₂ → max (min)

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ ≤ (≥) b₁ ,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ ≤ (≥) b₂ ,

……………………………..

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ ≤ (≥) b_m

x₁ ≥0, x₂ ≥0

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения.

Область допустимых решений задачи строится как пересечение областей решений каждого из заданных ограничений.

Областью решений линейного неравенства a_{i 1} x₁ + a_{i 2} x₂ ≤b_i является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая a_{i 1} x₁ + a_{i 2} x₂ = 0, соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость. Для того, чтобы определить, какая из полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая эту точку, если не удовлетворяется – то полуплоскость, не содержащая данную точку .

Для нахождения среди допустимых решений оптимального используют линии уровня и опорные прямые. Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня имеет вид c₁ x₁ + c₂ x₂ = L , где L = const. Все линии уровня параллельны между собой. Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой эта область находиться в одной из полуплоскостей. Важное свойство линии уровня: при параллельном смещении линии в одну сторону уровень возрастает, а в другую сторону – убывает.

I Задание: Решить графическим методом задачу с двумя переменными.

Z(x)=2х₁ +3х₂ → max

-6х₁ +х₂ ≥3

-5х₁ +9х₂ ≤ 45

х₁ -3х₂ ≤ 3

х₁ ≥ 0 , х₂ ≥ 0

Найдем точки пересечения прямых с осями координат:

I. -6х₁ +х₂ =3

1)х₁ =0 2)х₂ =0

х₂ =3 х₁ = -1/2

II. -5х₁ +9х₂ =45

1)х₁ =0 2)х₂ =0

х₂ =5 х₁ = -9

III. х₁ -3х₂ =3

1)х₁ =0 2)х