Аффинные преобразования

Глава I.Понятие о геометрическом преобразовании

1.1 Что такое геометрическое преобразование?

Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия имеют то общее, что все они „преобразуют" каждую фигуру Fв некоторую новую фигуру F1. Поэтому их называют геометрическими преобразованиями.

Вообще, геометрическим преобразованием называют всякое правило, позволяющее для каждой точки А на плоскости указать новую точку A', в которую переводится точка А рассматриваемым преобразованием. Если на плоскости задана какая-либо фигура F, то множество всех точек, в которые переходят тонки фигуры Fпри рассматриваемом преобразовании, представляет собой новую фигуру F., В этом случае говорят, что F' получается из F при помощи рассматриваемого преобразования.

Пример. Симметрия относительно прямой l является геометрическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке A найти соответствующую ей точку А', в этом случае заключается в следующем: из точки А опускается перпендикуляр АР на прямую lи на его продолжении за точку Р откладывается отрезок РА'=АР.

Сложение геометрических преобразований

Предположим, что мы рассматриваем два геометрических преобразования, одно из которых называем „первым", а другое - „вторым". Возьмем на плоскости произвольную точку А и обозначим через А' ту точку, в которую переходит А при первом преобразовании. В свою очередь точка А' переводится вторым преобразованием в некоторую новую точку А". Иначе говоря, точка А" получается из точки А при помощи последовательного применения двух преобразований - сначала первого, а затем второго.

Результат последовательного выполнения взятых двух преобразований также представляет собой геометрическое преобразование: оно переводит точку А в точку А". Это „результирующее" преобразование называется суммой первого и второго рассмотренных преобразований.

Пусть на плоскости задана какая-либо фигура F. Первое преобразование переводит ее в некоторую фигуру F' . Вторым преобразованием эта фигура F' переводится в некоторую новую фигуру F''. Сумма же первого и второго преобразований сразу переводит фигуру Fв фигуру F".

Пример. Пусть первое преобразование представляет собой симметрию относительно точки О1 а второе преобразование - симметрию относительно другой точки О2. Найдем сумму этих двух преобразований.

Пусть А — произвольная точка плоскости. Предположим сначала, что точка A не лежит на прямой O1O2. Обозначим через А' точку, симметричную точке А относительно О1, а через A" — точку, симметричную точке A' относительно О2 . Так как О1O2 — средняя линия треугольника АА'А'' то отрезок АА" параллелен отрезку О1O2 и имеет вдвое большую длину. Направление от точки А к точке А" совпадает с направлением от точки

О1 к точке О2. Обозначим теперь через МNтакой вектор, что отрезки MNи O1 O2 параллельны, отрезок МNв два раза длиннее отрезка O1О2 и лучи МNи O1O2 имеют одно и то же направление. Тогда АА" = МN, т. е. точка А" получается из точки А параллельным переносом на вектор МN.

То же справедливо и для точки, лежащей на прямой O1О2.

Окончательно мы получаем: сумма симметрии относительно точки O1 и симметрии относительно точки O2 представляет собой параллельный, перенос.

1.2 Движения

Осевая симметрия, поворот (в частности, центральная симметрия) и параллельный перенос имеют то общее, что каждое из этих преобразований переводит любую фигуру F на плоскости в равную ей фигуру F' . Преобразования, обладающие этим свойством, называются движениями. Гомотетия представляет собой пример преобразования, не являющегося движением. Действительно, каждое движение переводит любую фигуру в равную ей фигуру, т. е. изменяет лишь положение фигур на плоскости; гомотетия же изменяет и размеры фигур.

Роль движений в геометрии

Движения играют в геометрии чрезвычайно важную роль. Они не изменяют ни формы, ни размеров фигур, меняя лишь расположение фигуры. Но фигуры, отличающиеся лишь своим расположением на плоскости, с точки зрения геометрии совершенно одинаковы. Именно поэтому их и называют в геометрии «равными фигурами». Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Так, например, равные треугольники имеют не только одинаковые стороны, но и одинаковые углы, медианы, биссектрисы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей и так далее.

На уроках геометрии мы всегда считали равные фигуры (т. е. такие, которые можно совместить при помощи движения) одинаковыми или неразличимыми. Такие фигуры часто принимают за одну и ту же фигуру. Именно поэтому мы можем сказать, что, например, задача построения треугольника по двум сторонам а, bи заключенному между ними углу С имеет только одно решение. На самом деле, конечно, треугольников, имеющих данные стороны а и b и заключенный между ними угол С данной величины, можно найти бесконечно много. Однако все эти треугольники одинаковы, равны, поэтому их можно принять за «один» треугольник.

Таким образом, геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у равных фигур. Такие свойства можно назвать «геометрическими свойствами». Другими словами: геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Но фигуры, отличающиеся только расположением (равные фигуры), — это те, которые можно совместить с помощью движения. Поэтому мы приходим к следующему