Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

Введение

Вопрос рассмотрения и исследования характерных точек и линий треугольников возникла, как из научного любопытства, так и из чисто практических целей. Если в древние времена наиболее широко применялся на практике прямоугольный треугольник Пифагора, то в наше время наибольший интерес вызывают необычные свойства треугольника Рело (Reuleaux Franz, 1829–1905).

Моя работа посвящена рассмотрению основных свойств фигур постоянной ширины. Вообще, мало кто знает, что такое диаметр, ширина фигуры. Может показаться, что круг является единственной выпуклой фигурой, у которой ширина в любом направлении одна и та же: она равна диаметру круга. Однако это не так: существует множество фигур постоянной ширины, т.е. таких выпуклых фигур, у которых во всех направлениях ширина одинакова. Простейшим примером является треугольник Рело. В своей работе я доказываю, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Цель моей работы - изучить основные свойства фигур постоянной ширины, историю изобретения, рассмотреть области применения фигур постоянной ширины и изучить их свойства, доказать, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Для этого поставлены следующие задачи .

- Познакомиться с историей изобретения;

- Рассмотреть и изучить свойства фигур постоянной ширины;

- Доказать, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь;

- Выявить и рассмотреть открытые проблемы и задачи, связанные с треугольником Рело;

- Выяснить области применения треугольника Рело.

Для реализации цели и задач исследования я использовал следующие методы: Теоретический анализ литературы по исследуемой теме. Доказательство, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь. Рассмотреть практическое техническое применение фигур постоянной ширины.

Теперь подробнее о треугольнике Рело. У этой фигуры есть общие свойства с кругом, но присутствуют и свои, например, очертание четырёхугольника. Траектории движения точки на окружности и точки на вершине треугольника Рело различны, хотя у обеих присутствует циклоида. Траектория геометрического центра треугольника также не прямая, а трохоида.

Треугольник Рело нашёл своё применение в сверле Уаттса, высверливающем квадратное отверстие, в грейферном механизме первого кинопроектора. На основе треугольника Рело Ф. Ванкель сконструировал роторно-поршневой двигатель. Этот двигатель обладает множеством преимуществ перед обычным двигателем внутреннего сгорания, хотя есть и свои минусы. Первый автомобиль с этим двигателем выпустили (NSU Prince) выпустили в середине 60-х годов, а сейчас роторно-поршневой двигатель устанавливают на некоторые модели Mazda. В СССР тоже разрабатывали роторно-поршневые двигатели, но у нас они не получили развития по многим причинам. В Англии имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.

4.1 Исторические сведения

Рассмотрим подробнее наиболее известную фигуру - треугольник Рело, названный по имени придумавшего его механика Франца Рело – немецкого учёного-инженера, жившего с1829 по 1905 г.г.. В 1852 он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 профессор Политехнического института в Цюрихе, в 1864—96 профессор Промышленного института (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 впервые четко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов, которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др.. Рело дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связал теорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например, впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов. Имея в виду это направление его работ, современники Рело называли его поэтом в технике. Творчество Рело оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов.

Эта фигура обладает частью важнейших свойств круга. Построить это треугольник просто. Начертим равносторонний треугольник. Заменим его стороны дугами окружностей, центрам которых являются вершины, а радиусами – стороны треугольника (на любом правильном нечётном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что и треугольник Рело). На самом деле эта фигура не является треугольником. Треугольник Рело имеет постоянную ширину, равную стороне исходного треугольника. Его также можно использовать в качестве катка при перемещении поверхности, но его гораздо сложнее изготовить, чем круг.

Построим пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рело. Проведём ещё пару касательных, перпендикулярных первой паре. Фигура окажется "запертой" в квадрате и будет касаться каждой из его сторон. При вращении фигуры в квадрате она будет постоянно прилегать ко всем сторонам квадрата.

4.3

Попробуем построить траектории движения двух характерных точек треугольника Рело при качении его по плоской горизонтальной поверхности. Такими точками будут одна из вершин треугольника и его геометрический центр. Моделирование одного полного оборота треугольника Рело показано на рисунке.

Рис.14

На фигурах 2, 6, 10 треуг

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать