Фактор группы Cмежные классы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

Математический факультет

Кафедра алгебры и методики преподавания математики

Курсовая работа

СОДЕРЖАНИЕ

Ведение

1.Основные определения и теоремы

2.Смежные классы

2.1. Правые и левые смежные классы

2.2 Двойные смежные классы

3. Нормальные подгруппы и фактор-группы

3.1 Нормальные подгруппы

3.2 Фактор-группы

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввел понятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в виде подстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини (1799) и Абеля (1825).

В 1830–1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы. С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросах связанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки, формулировали и доказывали теоремы.

Теория групп – один из центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска, Новополоцка, Мозыря.

Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.

Понятие группы не труднее понятия функции; его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этой теорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современной математикой вообще.

Моя цель состоит в том, чтобы разобраться с начальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы, доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

Рассмотрим некоторое непустое множество G, на котором определена бинарная алгебраическая операция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:

1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c ÎG выполняется

a*(b*c)=(a*b)*c;

2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е. для любого a Î G найдется такой элемент e ,что выполняется

a*e=e*a=a

3) для любого элемента G существует симметричный элемент относительно, т.е. для любых a, bÎ G выполняется

a*b=b*a=e;

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называется подгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a. Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклической подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается áаñ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то G называют циклической группой.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.

Тогда

áаñ ={e, a, a, … , a}

Кроме того, а= e в точности тогда, когда k делит m.

ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической группы G = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á аñ для каждого натурального m.

ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы áаñ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами á аñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.

ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда hhH и hH.

2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

2.1 Правые и левые смежные классы

Пусть G– группа, H – ее подгруппа и gÎG.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным классом группы Gпо подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH} всех элементов группы G вида hg , где h “пробегает” все элементы подгруппы H.

Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.

ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H – подгруппа. Тогда справедливы утверждения:

1) H=He;

2) gÎHg для каждого gÎG;

3) если aÎH, то Ha=H; если bÎHa , то Hb=Ha;

4) Ha=Hb тогда и только тогда, когда abÎH;

5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;

6) если H– конечная подгруппа, то | Hg| = | H| для всех gÎG.

Доказательство

Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса

(4) Если Ha= Hb, то ea= hb, hÎH и ab= hÎH. Обратно, если abÎH, то aÎHb и Ha=Hb по утверждению 3.

(5) Пусть HaÇHb ≠Æи cÎHaÇHb. Тогда c=a=b и ab=ÎH. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).

(6) Для каждого gÎG отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H| = | Hg|

Ч.т.д.

Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H. Это свойство позволяет ввести следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T эле

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать