Геометрия Лобачевского

Геометрия Лобачевского

Оглавление

Введение

Глава I. История возникновения неевклидовой геометрии

1.1 V постулат Евклида, попытки его доказательства

1.2 Постулаты параллельности Евклида и Лобачевского

Глава II. Геометрия Лобачевского

2.1 Основные понятия

2.2 Непротиворечивость геометрии Лобачевского

2.3 Модели геометрии Лобачевского

2.4 Дефект треугольника и многоугольника

2.5 Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского

2.6 Определение параллельной прямой. Функция П(х)

2.7 Модель Пуанкаре

Практическая часть

1. Сумма углов треугольника

2. Вопрос о существовании подобных фигур

3. Основное свойство параллелизма

4. Свойства функции П(х)

Заключение. Выводы

Приложения

Список использованной литературы

Введение

Данная работа показывает сходство и различия двух геометрий на примере доказательства одного из постулатов Евклида и продолжение этих понятий в геометрии Лобачевского с учетом достижений науки на тот момент.

Любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки. Этот факт многократно подтверждался.

Физика Ньютона переросла в релятивисткую, а та - в квантовую. Теория флогистона стала химией. Такова судьба всех наук. Участь эта не обошла геометрию. Традиционная геометрия Евклида переросла в геометрии. Лобачевского. Именно этому разделу науки посвящена эта работа.

Цель данной работы: рассмотреть отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Задачи данной работы: сравнить теоремы геометрии Евклида с аналогичными теоремами геометрии Лобачевского;

посредством решения задач вывести положения геометрии Лобачевского.

Выводы: 1. Геометрия Лобачевского построена на отказе от пятого постулата Евклида.

2. В геометрии Лобачевского:

не существует подобных треугольников, которые не равны;

два треугольника равны, если их углы равны;

сумма углов треугольника не равна 1800 , а меньше (сумма углов треугольника зависит от его размеров: чем больше площадь, тем сильнее отличается сумма от 1800 ; и наоборот, чем меньше площадь, тем ближе сумма его углов к 1800 );

через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной.

Рекомендации: Я предлагаю использовать эту работу как дополнительную литературу в классах с углубленным изучением математики.

Глава 1. История возникновения неевклидовой геометрии

1.1 V постулат Евклида, попытки его доказательства

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение на столько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начала» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

«Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

V постулат Евклида гласит: и чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено их последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегали в интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух торчках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем не возможно.

Но никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже в древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Сам Евклид и многие ученые пытались доказать постулат о параллельных. Одни старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату. Другие предлагали по-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать