Геометрические задачи приводящие к дифференциальным уравнениям

Федеральное агентство по образованию

Елабужский Государственный Педагогический Университет

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

на тему:

«Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям»

Елабуга 2009

Оглавление

Введение........................................................................................................... 3

Огибающие...................................................................................................... 5

Бархистохрона................................................................................................ 9

Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца........ 13

Задача о расстоянии до кривой.................................................................... 14

Геодезические линии на кривой поверхности.............................................. 16

Задача о геодезической линии...................................................................... 18

Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью..................... 19

Кривая провеса гибкой нерастяжимой нити................................................ 21

Поверхность вращения наименьшей площади............................................ 25

Задача Дидоны.............................................................................................. 29

Заключение.................................................................................................... 35

Список использованной литературы............................................................ 36

Введение

При изучении геометрических задач не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение

где f(x) – известная, а y=y(x) – искомая функции независимого переменного х. Решения этого уравнения называют первообразными функциями для функции f(x). Например, решениями дифференциального уравнения

являются функции

где С – произвольная постоянная, причем других решений это уравнение не имеет.

Характерное свойство дифференциальных уравнений – иметь бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача неопределенна.

Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Огибающие

Допустим, что нам известно для некоторого дифференциального уравнения F(x, у, )==0 (1) семейство

F(x, у, С)==0 (2)

интегральных линий, которое покрывает некоторую замкнутую область G плоскости (х, у) так, что через каждую точку такой области проходит по крайней мере одна линия этого семейства. Требуется найти такую проходящую по G линию L, которая в каждой своей точке касается некоторой линии семейства (2) и каждого куска которой касается бесконечное множество линий этого семейства[1] . Такая линия L называется огибающей семейства (2). Очевидно, огибающая семейства интегральных линий будет также интегральной линией уравнения (1), так как в каждой её точке она касается некоторой интегральной кривой и, следовательно, имеет направление поля. Относительно функции F (х, у, С) нам придётся предположить, что она имеет непрерывные производные по всем своим аргументам, и сделать ещё некоторые другие предположения, о которых будет сказано несколько позже и которые в нашем тексте напечатаны курсивом.

Допустим, что искомая линия существует. Так как она в каждой своей точке (х, у) касается некоторой линии [значок С указывает то значение параметра С, при котором уравнение этой линии получается из общего уравнения (2)], то координаты её точек удовлетворяют уравнению F(x, у, С(х, у)) =0, где теперь С уже не постоянно, но в каждой точке линии L принимает свой значение (именно равное тому С, которое соответствует линии ). Будем рассматривать только такой кусок линии L, где у есть дифференцируемая функция от х (точно так же можно исследовать куски, где х есть дифференцируемая функция от у). Тогда можно считать С в предыдущем уравнении зависящим только от х и переписать это уравнение в следующем виде:

F(x,y, C(x)) = 0. (3)

Допустим, что функция С(х) дифференцируема, не постоянна ни в каком интервале рассматриваемых значений х и нам известна. Найдём тогда из уравнения (3) значение у' для удовлетворяющей этому уравнению функции у от х. Продифференцируем для этого уравнение (3) по х, считая у функцией от х. Получим

С другой стороны, если бы мы нашли у' для проходящей через ту же точку (х, у) линии семейства (2), мы полу

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать