Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Курсова робота: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Зміст

Розділ 1

1. Упорядковані множини

2. Ґрати

3. Дистрибутивні ґрати

4. Топологічні простори

Розділ 2

1. Верхні напівґрати

2. Стоуновий простір

Висновок

Список літератури

Розділ 1

1. Упорядковані множини

Визначення: Упорядкованою множиною називається непуста множина, на якої визначене бінарне відношення , що задовольняє для всіх наступним умовам:

1. Рефлективність: .

2. Антисиметричність: якщо й , те .

3. Транзитивність: якщо й , те .

Якщо й , то говорять, що менше або більше , і пишуть або .

Приклади впорядкованих множин:

Множина цілих позитивних чисел, а означає, що ділить .

Множина всіх дійсних функцій на відрізку й

означає, що для .

Визначення: Ланцюгом називаєтьсявпорядкована множина, на якої для має місце або .

Використовуючи відношення порядку, можна одержати графічне подання будь-якого кінцевого впорядковання множини . Зобразимо кожний елемент множини у вигляді невеликого кружка, розташовуючи вище , якщо . З'єднаємо й відрізком. Отримана фігура називається діаграмою впорядкованої множини .

Приклади діаграм упорядкованих множин:

2. Ґрати

Визначення: Верхньою гранню підмножини в упорядкованій множині називається елемент із , більший або рівний усіх з .

Визначення: Точна верхня грань підмножини впорядкованої множини – це така іі верхня грань, що менше будь-який інший іі верхньої грані. Позначається символом і читається «супремум X».

Відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вона єдина.

Поняття нижньої грані й точної грані (яка позначається й читається «інфинум»). Також, відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна нижня грань існує, то вона єдина.

Визначення: Ґратами називається впорядкована множина , у якому будь-які два елементи й мають точну нижню грань, позначувану , і точну верхню грань, позначувану .

Приклади ґрат:

1. Будь-який ланцюг є ґратами, тому що збігається з меншим, а з більшим з елементів .

2.

Найбільший елемент, тобто елемент, більшого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають , а найменший елемент, тобто меншого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають .

На ґратах можна розглядати дві бінарні операції:

- додавання й

- добуток

Ці операції мають наступні властивості:

1. , ідемпотентність

2. , комутативність

3. ,

асоціативність

4. ,

закони поглинання

Теорема . Нехай - множина із двома бінарними операціями , що володіють властивостями (1) – (4). Тоді відношення (або ) є порядком на , а виникаюча впорядкована множина виявляється ґратами, причому:

Доказ.

Рефлективність відносини випливає із властивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):

Якщо й , тобто й , те в силу властивості (2), одержимо . Це означає, що відношення антисиметричне.

Якщо й , то застосовуючи властивість (3), одержимо: , що доводить транзитивність відносини .

Застосовуючи властивості (3), (1), (2), одержимо:

,

.

Отже, і

Якщо й , то використовуючи властивості (1) – (3), маємо:

, тобто

По визначенню верхньої грані переконаємося, що

Із властивостей (2), (4) випливає, що й

Якщо й , то по властивостях (3), (4) одержимо:

Звідси по властивостях (2) і (4) треба, що

, тобто

Таким чином, . :

Нехай ґрати, тоді її найбільший елемент характеризуються одним із властивостей:

1.

2..

Аналогічно характеризується найменший елемент :

1.

2..

3. Дистрибутивні ґрати

Визначення: Ґрати називаються дистрибутивної , якщо для виконується:

1.

2.

У будь-яких ґратах тотожності (1) і (2) рівносильні. Доказ цього факту втримується в книзі [1], стор. 24.

Теорема: Ґрати з 0 і 1 є дистрибутивною тоді й тільки тоді, коли вона не містить у

Доказ цього факту можна знайти в книзі [2].

Далі під словом “ґрати” розуміється довільні дистрибутивні ґрати з 0 і 1 (причому ).

Визначення: Непуста множина називається ідеалом у ґратах , якщо виконуються умови:

1.

2.

Визначення: Ідеал у ґратах називається простим , якщо

або .

Ідеал, породжений множиною Н (тобтонайменший ідеал, що містить H ), буде позначатися (Н]. Якщо Н = {a} , то замість ({a}] будемо писати (a] і називати (a] головним ідеалом.

Позначимо через I(L) множина всіх ідеалів ґрати L. I(L) будемо називати ґратами ідеалів.

Визначення: Ґрати й називаються ізоморфними (позначення: ), якщо існує взаємно однозначне відображення , називане ізоморфіз

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать