Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математики и информатики

Курсовая работа

«Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций»

Выполнил:

студентка 362 группы

Латфуллина Р.А.

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент

Шармина Т.Н.

Тюмень - 2010

Содержание

Введение. 3

Глава1. Функции , как решения некоторых задач Коши. 5

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций. 16

Список литературы.. 22

Введение

Данная курсовая работа посвящена изучению и анализу различных способов определения тригонометрических функций.

Тригонометрические функции являются важной составной частью содержания математического образования, как в средних, так и в высших учебных заведениях и часто встречаются в различных приложениях математики. С их помощью могут быть построены и изучены математические модели процессов реального мира. Для школьных учителей полезно знать различные подходы к определению и изучению свойств тригонометрических функций. Имеется не так много математической литературы в которой теория элементарных функций излагается последовательно и подробно разными методами. В этом и заключается актуальность данной темы.

Объектом нашего исследования мы выбрали тригонометрические функции. Предметом же является способы их определения.

Целью курсовой работы является изучение и анализ различных способов определения тригонометрических функций.

Для достижения цели мы поставили следующие задачи: изучить математическую литературу, проанализировать способы определения тригонометрических функций и доказать свойства этих функций на основе соответствующего способа определения.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

В главе 1 излагается способ построения теории функций , , основываясь на использовании теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши и простейших сведений из дифференциального и интегрального исчисления. Также в этой главе приведены доказательства основных свойств этих функций.

Глава 2 посвящена рассмотрению теории тригонометрических функций на базе степенных рядов и установлению эквивалентности нового и традиционного определения таких функций.

Также в работе проведены доказательства некоторых свойств тригонометрических функций.

Глава1. Функции , как решения некоторых задач Коши

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами теорема существования и единственности решения задачи Коши формулируется следующим образом.

Теорема1 . Дифференциальное уравнение

,

где ; ; ; , имеет на единственное n-кратно дифференцируемое решение , удовлетворяющее условиям

(здесь - произвольно заданные фиксированные действительные числа).

Очевидно, что это решение обладает на непрерывными производными всех порядков.

В частности, когда , указанное в теореме 1 решение тривиально ( на ).

Рассмотрим следующие две задачи Коши:

, , ; (1)

, , , (2)

где ; ; . Их решения обозначим соответственно через и . Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём , . Однако основные свойства функций , установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2).

1. , ().

Действительно, так как и - решения уравнения , то , , откуда , . Это значит, что каждая из функций , также являются решением уравнения . При этом решения и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям: , . Следовательно, по теореме существования и единственности на , т.е. для .

Аналогично убеждаемся и в справедливости соотношения

().

2. Функция нечётная, а чётная.

Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с ) симметричны относительно точки . Покажем теперь, что и при любом .

Вводя в рассмотрение функции и (тогда , ) и учитывая свойство 1, будем иметь:

,

, ;

,

.

Таким образом, функции и являются решением одной и той же задачи Коши , , . Поэтому (согласно теореме 1) на , т.е. для любого .

Подобным же образом убеждаемся, что функция является решением задачи Коши , , , следовательно, на .

3. Имеет место тождество .

Доказательство. Полагая и используя свойство 1, находим

(),

Вследствие чего на . А так как , то на , т.е. на .

Замечание. Из свойства 3 следует, что функции и ограничены , причём , для любого .

4. Справедливы следующие соотношения (теоремы сложения для функций и ):

() (3) Доказательство. Введём в рассмотрение функции

Считая (без ограничения общности) постоянной, а переменной. Эти функции являются решениями уравнения , удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как , :

так что

(на )

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать