Арифметичні застосування теорії конгруенцій

Курсова робота

АРИФМЕТИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ КОНГРУЕНЦІЙ

Зміст

Вступ

1. Конгруенції та їх основні властивості

2. Ознаки подільності

3. Перевірка арифметичних дій

4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий

5. Індекси. Загальні властивості

Висновки

Вступ

Важливе місце в курсі теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, застосування конгруенцій. Цим питанням займалися такі видатні вчені як, Ейлер, Ферма, Б. Паскаль.

П'єр Ферма (1601-1665) - відомий свого часу юрист і радник судового парламенту в Тулузі - інтенсивно і з великим успіхом займався різними математичними питаннями. П. Ферма є одним з творців диференціального числення і теорії ймовірності, але особливо велике значення мають його роботи по теорії чисел. Більшість теоретико-числових результатів П. Ферма записувалися ним на полях екземпляра твору Діофанта „Арифметика”; Ферма зазвичай не записував доведення, а давав тільки короткі вказівки про метод, який він застосовував для отримання свого результату. Твір Ферма під назвою „Opera Varia" були видані вперше в 1679 р.

Теорема Ферма, викладена в цій главі, була висловлена в одному з листів, посланому їм в 1640 р. Френіклу. У цьому листі Ферма пише, що він отримав доведення цієї теореми; проте саме доведення не було ним опубліковане.

Перше з відомих доведень теореми Ферма належить Лейбніцу (1646-1716). Доведення Лейбніца було засноване на розгляді порівняння:

.

Ейлер дав декілька різних доведень теореми Ферма, з яких перше відноситься до 1736 р. У 1760 р. Ейлер узагальнив теорему, надавши їй вигляду теореми 120, що носить його ім'я. Треба при цьому мати на увазі, що термінологія і позначення у Ферма і у Ейлера абсолютно відмінні від сучасних.

Блез Паскаль (1623-1662) - видатний французький математик, фізик і філософ. Математичні інтереси Паскаля дуже різноманітні: він зробив істотний внесок у розвиток аналізу нескінченно малих; разом з Ферма Паскаль є основоположником теорії ймовірностей; йому належать загальна ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число, яка ґрунтується на знанні суми цифр числа, а також спосіб обчислення біноміальних коефіцієнтів ("Арифметичний трикутник ″); він вперше точно визначив і застосував для доведення метод повної математичної індукції

Дана курсова робота складається з 5 параграфів:

1. Конгруенції та їх основні властивості: вводяться означення конгруенції, основні властивості, основні теоремами в теорії конгруенцій - Ейлера і Ферма.

2. Ознаки подільності. В цьому параграфі розглядаються основні ознаки подільності цілих чисел, при використанні конгруенцій; метод Паскаля - загальна ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число.

3. Перевірка арифметичних дій. В даному параграфі наведено два способи перевірки арифметичних дій: "перевірки за допомогою дев'ятки", " перевірки за допомогою одинадцяти".

4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий. Використовуючи конгруенції можна перетворити десятковий дріб у звичайний і визначити період даного дробу.

5. Індекси. В цьому параграфі розглядають основні властивості індексів, їх загальна характеристика. Індекси по простому і складеному модулю розглядаються в окремих підпунктах.

Кожен параграф проілюстровано прикладами.

1. Конгруенції та їх основні властивості

Припустимо, що т є натуральне число; розглядатимемо цілі числа у зв'язку з остачами від ділення їх на це натуральне яке називають модулем. Згідно з теоремою про ділення з остачею кожному числу а відповідатиме певна остача і від ділення а на т:

, .

Якщо двом цілим числам і відповідає одна й та сама остача від ділення їх на т, то вони називаються конгруентними (або порівнянними) за модулем т. Це позначається символом:

(1)

читається: а конгруентне з за модулем т.

Деякі автори позначають це коротше:

(1')

Співвідношення (1) [або (1')] між числами називають конгруенцією, або порівнянням.

Приклади. ; ; .

Теорема 1. Конгруентність чисел і за модулем рівнозначна:

а) можливості подати а у формі , де - ціле;

б) подільності - на .

Властивості:

1. Для конгруенції справджуються закони: рефлективності, симетричності і транзитивності, тобто відповідно:

a) ;

б) з конгруенції випливає, що ;

в) якщо і , то .

2. Конгруенції за одним і тим самим модулем можна почленно додавати (або віднімати).

Висновок 1. Доданок, що стоїть у якій-небудь частині конгруенції, можна переносити в іншу частину, змінивши знак на протилежний.

Висновок 2. Можна додати до обох частин або відняти від обох частин конгруенції одне й те саме число.

Висновок 3. До кожної частини конгруенції можна додати (або відняти від неї) довільне число, кратне модулю.

3. Конгруенції за одним і тим самим модулем можна почленно перемножати.

Висновок 1. Обидві частини конгруенції можна помножити на одне й те саме ціле число.

Висновок 2. Обидві частини конгруенції можна підносити до одного й того самого цілого невід'ємного степеня, тобто якщо. , то , де - ціле.

4. Обидві частини конгруенції можна поділити на їхній спільний дільник, якщо він взаємно

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать