Нестандартный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

КИРОВОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Винниченка

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Математика»

на тему : «Нестандартный анализ»

Кировоград

2003

СОДЕРЖАНИЕ

ВСТУПЛЕНИЕ……………………………………………………………………………3

1. ЛЕЙБНИЦ И “ДРЕВНЯЯ ИСТОРИЯ” НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА ….…4

2. РОБИНСОН И «НОВАЯ ИСТОРИЯ» НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА……...8

3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ…………………………………………….10

4. ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ……………………………………………16

5. ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ………………….……..18

6. НОВЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ЧИСЛАМ И ОСНОВНАЯ ГИПОТЕЗА………………………………………………………………21

7. СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНОЙ ГИПОТЕЗЫ………………………………………….24

8. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ………………27

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………………..….33

ВСТУПЛЕНИЕ

Нестандартный анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон, специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математической

логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие “бесконечно большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь идет не о каких-то новых “нестандартных” методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-множественной) математики.

Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.

Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике активно используют нестандартный анализ в своей работе.

Нестандартный анализ позволяет с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков математического анализа, кажу­щиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и путем относительно небольших уточнений сделать их удовлетво­ряющими современным критериям строгости.

1. ЛЕЙБНИЦ И “ДРЕВНЯЯ ИСТОРИЯ” НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА

Возраст нестандартного анализа колеблется (в зави­симости от точки зрения) от двух с половиной десятков до трех сотен лет. Два с половиной десятка получится, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 г., когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал доклад на одном нз семинаров Принстонского университета о возможности применения методов мате­матической логики к обоснованию математического ана­лиза. Триста лет получится, если считать началом не­стандартного анлиза появление символов бесконечно малых dx, dy трактате Лейбница “Новый метод”.

Трудно сказать с уверенностью, насколько в действи­тельности Лейбниц был близок к идеям нестандартного анализа. Как пишет сам Робинсон “исто­рия предмета обычно пишется в свете его позднейшего развития. Уже более чем полвека все обзоры истории дифференциального и интегрального исчислений основы­вались на уверенности в том, что понятие бесконечно малых и бесконечно больших, если даже и непротиворе­чиво, бесполезно для развития анализа. В результате в работах этого периода заметно различие между стро­гостью, с которой рассматриваются идеи Лейбница и его последователей, и снисходительностью, проявляемой к провозвестникам идеи предела”. Характерно, например, следующее высказывание Анри Лебега от 3 декабря 1926 г. “Бесконечно малые были когда-то туманными сущностями, встречавшимися в неясных и неточных формулировках. Все разъяснилось впоследствии благо­даря понятию предела”.

Считая, что идеи Лейбница и идеи сторонников поня­тия предельного перехода мерились двойным стандартом при несправедливом склонении весов правосудия в поль­зу предела, Робинсон предлагает во многом пересмотреть общую картину возникновения и развития математиче­ского анализа от Ньютона и Лейбница до Коши и Вейерштрасса. Этот пересмотр приводит к более полному при­знанию заслуг Лейбница, и сам Лейбниц перемещается, таким образом, из разряда гениев третьего класса в раз­ряд гениев второго класса (класси­фикация, предложенная Станиславом Лемом: в этой классификации гении третьего класса получают прижизненное, а гении более высокого класса – лишь посмертное признание).

Изложим историко-математические взгляды Робинсона. Робинсон резюмирует стандартный взгляд на историю развития математического анализа в следующих словах: “После длительного периода, в течение которого были определены площади, объемы и касательные в различных частных случаях, во второй половине семнадцатого сто­летия Ньютоном и (несколько позже, но независимо) Лейбницем была построена общая теория дифференциро­вания и интегрирования. Касаясь обоснования введенных им понятий, Ньютон обращался то к бесконечно малым, то к пределам, то непосредственно к физической интуи­ции; его непосредственные последователи предпочит

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать