Інтеграл Стілтьєса

Міністерство освіти і науки України

Полтавський державний педагогічний університет

§2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

Встановимо загальні умови існування інтегралу Стілтьєса, обмежуючись припущенням, що функція монотонно зростає.

Звідси слідує, що при тепер всі , подібно тому, як раніше було . Це дозволяє послідовно замінюючи лише на повторити всі побудови.

Аналогічно до сум Дарбу, і тут доцільно ввести суми

, ,

де і M_i означають, відповідно, нижню і верхню точні межі функції в - тому проміжку . Ці суми будемо називати нижньою і верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса. Перш за все, ясно, що (при одному й тому самому розбитті),причому і служать точними межами для стілтьєсових сум . Самі ж суми Дарбу-Стілтьєса мають дві наступні властивості:

1. Якщо до наявних двох точок розбиття додати нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса може від цього лише зрости, а верхня сума – лише зменшитися.

2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перебільшує кожної верхньої суми, хоча б і такій, що відповідає іншому розбиттю проміжку.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса:

= і ,

то виявляється, що .

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко встановити для випадку, що розглядається, основну ознаку існування інтегралу Стілтьєса:

Теорема. Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб виконувалося

, або , (4)

якщо під , як зазвичай, розуміти коливання функції в -му проміжку .

2.2 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

1. Якщо функція а функція має обмежену зміну, то інтеграл Стілтьєса

(5)

існує.

Спочатку припустимо, що монотонно зростає, тоді за довільно заданим , враховуючи рівномірну неперервність функції , знайдеться таке , що на будь-якому проміжку, довжина якого менше , коливання буде менше за . Нехай тепер проміжок розбитий на частини так, що . Тоді всі < і

,

звідки й слідує виконання умови (4), а, отже, і існування інтеграла також.

У загальному випадку, якщо функція має обмежену зміну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій: . У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції :

Так, за вже доведеним, кожна із сум і при прямує до граничної межі, це справедливо і відносно суми , що і треба було довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію якщо одночасно посилити вимоги до функції :

2. Якщо функція інтегровна на проміжку за Ріманом, а задовольняє умові Ліпшиця:

(6)

,

то інтеграл (5) існує.

Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію як таку, що не лише задовольняє умові (6), але і монотонно зростаючу.

Враховуючи (6), очевидно , так, що

Але остання сума при і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції , а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (5).

У загальному випадку функції , що задовольняє умові Ліпшиця (6), представимо її у вигляді різниці

=.

Функція =, очевидно, задовольняє умові Ліпшиця, і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції =, так як в силу (6), при

і

.

У такому випадку міркування завершено, як і в попередньому випадку.

3. Якщо функція інтегровна за Ріманом, а функцію можна представити у вигляді інтеграла зі змінною верхнею межею інтегрування:

, (7)

де абсолютно інтегровна на проміжку , то інтеграл (5) існує.

Нехай , так, що монотонно зростає. Якщо інтегровна за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена: , то для маємо.

Таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (2).

Припустимо тепер, що інтегровна у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо . Перш за все, за довільно взятим вибираємо так, щоб було

, (8)

де - загальне коливання функції на розглядуваному нами проміжку.

Розіб’ємо проміжок довільно на частини і складемо суму

.

Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку , а друга – решті проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку , якщо тільки ; тоді в силу (8),

.

З іншого боку, так як на проміжку функція інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому і сума стане меншою за . Звідси слідує (4), що і потрібно було довести.

У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегровна на проміжку , ми розглянемо функції

,

очевидно, невід’ємні і інтегровні на даному проміжку. Так як

,

то питання зводиться до вже розглянутого випадку.

ЗАУВАЖЕННЯ. Нехай функція неперервна на проміжку і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну , причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, має місце формула (7):

.

Якщо абсолютно інтегровна, то до функції повністю справедливо все викладене в п. 3.[1;3]

§3. Властивості

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать