Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Курсова робота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Зміст

Введення

Розділ 1.Вихідні визначення

§1. Порядкові визначення

§2. Топологічні визначення

Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості

§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи

§3. Порядковий тип

§4. Властивості ординальних чисел

§5. Простір ординальних чисел W( 1) і його властивості

Висновок

Список літератури

ВВЕДЕННЯ

ординарний число упорядкований множина

Ідеї топології були висловлені ще видатними математиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, бере початок від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).

Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії, функціональному аналізі й алгебрі.

Лінійно впорядковані простори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел, поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладу теорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальність обраної теми.

Ціль курсової роботи - дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей.

РОЗДІЛ 1. Вихідні визначення й теореми

§1. ПОРЯДКОВІ ВИЗНАЧЕННЯ.

Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарним відношенням порядку , що:

рефлексивно: а a;

транзитивне: a b c a c;

антисиметричне: a b a a = b ( для будь-яких a, b, c X ).

Елементи впорядкованої множини називаються порівнянними, якщо

а < b, a = b або b < a.

Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a b і a b.

Визначення 1.2. Упорядкована множина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його два елементи порівнянні.

Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А Х, якщо а А и а х

(х а) для будь-якого х А.

Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називається мінімальним (максимальним) елементом множини А Х, якщо в А немає елементів, менших (більших) а, тобто якщо х а (а х) для деякого х , те х = а.

Визначення 1.5. Нехай А – непуста підмножина лінійно впорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) гранню множини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.

Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).

Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.

Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А. Позначається sup A.

Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А. Позначається inf A.

Визначення 1.10. Нехай <X, > - лінійно впорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b X, a < b покладемо

(a, b) = {x X: a < x < b}. Такі множини будемо називати інтервалами в Х. Множина [a, b] = { x X : a x b} називається відрізком у Х.

Визначення 1.11. Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непуста підмножина має найменший елемент.

Визначення 1.12. Нехай М и М1 – упорядковані множини й нехай f – взаємно однозначне відображення М на М1. Відображення зберігає порядок, якщо з того, що a b ( a, b M ), треба, що f (a) f (b) (у М1). Відображення f називається ізоморфізмом упорядкованих множин М и М1, якщо співвідношення f (a) f (b) виконано в тім і тільки в тому випадку, якщо a b. При цьому множини М и М1 називаються ізоморфними між собою.

§2. ТОПОЛОГІЧНІ ВИЗНАЧЕННЯ

Визначення 1.13. Топологічним простором називається пара (Х, ), що складається із множини Х и деякого сімейства підмножин множини Х, що задовольняє наступним умовам:

множина Х и Æ належать ;

перетинання кінцевого числа множин з належать ;

об'єднання будь-якого числа множин з належить .

Умови 1 – 3 називаються аксіомами топологічного простору, його елементи – крапками простору. Підмножини множини Х, що належать сімейству , називаються відкритими в Х. Сімейство відкритих підмножин простору Х називається також топологією на Х.

Визначення 1.14. Замкнутою множиною називається множина, що є доповненням до відкритого.

Визначення 1.15. Околицею крапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, що містить х.

Визначення 1.16. Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриття відкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.

Визначення 1.17. Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х має непусте перетинання.

Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ([5]).

Визначення 1.18. Простір Х називається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якої компактно.

Визначення 1.19. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового відкритого покрит

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать