Комплексные числа в планиметрии

Московский Государственный педагогический Университет

им. В.И.Ленина

Комплексные числа в планиметрии

(Курсовая работа)

Подготовила: студентка III курса

Маематического факультета

Ильичёва Мария В.

Научный руководитель: доцент

Иванов Иван И.

Москва, 2000

Содержание

Введение……………………………………………………………………….3

1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка…….4

2. Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек……8

3. Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности…………………………………………………………………..14

4. Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник…………...18

5. Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел…………………22

6. Две прямые. Расстояние от точки до прямой………………………………24

Заключение…………………………………………………………………...30

Список использованной литературы……………………………..………....31

Введение

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес.Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим со­держанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачии ее тре­бованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным,векторным и другими методами, требующими от решающе­го порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое ре­шение может быть очень коротким.

В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в при­менении к задачам элементарной геометриина плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем.

Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка

При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскос­ти комплексному числу z = x+iy (i2 = -1) можно взаимно однозначно по­ставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):

.

Число z тогда называют комплексной координатой точки М.

Поскольку множество точек евклидовой плоскости находитсяво взаим­но однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плос­кость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой пло­скости комплексных чисел.

При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z = iy . Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число.

Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначает­ся | z | или r :

|z| = r = |OM| = .

Если — ориентированный угол, образованный вектором с осью х, то по определению функции синуса и косинуса

откуда и поэтому .

Такое представление комплексного числа z называется его тригонометри­ческой формой. Исходное представление z = x + iy называют алгебраичес­кой формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z :

.

Если дано комплексное число z = x + iy , то число называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z . Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу . Точки М(z) и симметричны относительно оси х (рис.2).

Из равенства следует y=0 и обратно. Это значит, что число, рав­ное своему сопряженному, является действительным и обратно.

Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относитель­но начальной точки О . Точки с комплексными координатами z и сим­метричны относительно оси у. Из равенства z = вытекает x =0 и об­ратно. Поэтому условие z = является критерием чисто мнимого числа.

Для любого числа z , очевидно, |z | = || = |- z | = ||.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: .

Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплекс­ных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать