Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Курсовая работа

Выполнила студентка II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна

Мурманский Государственный Педагогический Университет

Мурманск 2007

Введение

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Цель данной работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения теоремы Коши-Бине:

Пусть , - и -матрицы соответственно, и

Тогда

Другими словами, при определитель матрицы является суммой произведений всевозможных миноров порядка в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка

Работа состоит из четырех глав, содержит заключение, список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе I рассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операции над матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава II посвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонирование произведения двух матриц. В главе III рассматриваются обратимые и элементарные матрицы. В главе IV вводиться понятие определителя квадратной матрицы, рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательство теоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагается программа показывающая механизм нахождения определителя произведения двух матриц.

Глава I

§ 1 Определение, обозначения и типы матриц

Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:

Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля .Для наших целей поле будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы , где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.

Каждой матрице с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к и обозначается через. Видно, что =. Строки матрицы становятся столбцами в и столбцы матрицы становятся строками в.

Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:

Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0

Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0

Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы . Если -номера выбранных строк и -номера выбранных столбцов, то субматрица это

В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

§2 Операции над матрицами

Определим следующие операции:

Сумма двух матриц , и с элементами и есть матрица С с элементами , запишем это как

Произведение матрицы на число поля есть матрица С с элементами , запишем как .

Произведение матрицы на матрицу есть матрица С с элементами , запишем

поле скаляров, рассмотрим , где элемент матрицы , расположенный в -строке , -столбце . Размерность матрицы .Если , то -квадратная матрица порядка . Множество -это множество всех матриц над полем .

Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: равна матрице , т.е

Опр. Пусть -это матрицы одинаковой размерности . Суммой матриц и называется матрица у которой в строке, столбце расположен элемент , т.е. . Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:

Пример:

Опр. Пусть , , . Произведение скаляра на матрицу называется у которой в строке, столбце расположен элемент . Другими словами: Чтобы скаляр умножить на матрицу нужно все элементы матрицы умножить на скаляр .

Определение. Противоположной к матрице называется матрица

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

-абелева группа

1) Сложение матриц ассоциативно и коммутативно.

2)

3)

а)

б)

4)

Глава II

§1 Умножение матриц

,

,

Опр. Произведением матрицы на матрицу называется матрица . , где

, где

Говорят, что есть скалярное произведение -строки матрицы на -столбец матрицы .

, где

Пример:

§2 Свойства умножения матриц

Умножение матриц ассоциативно:

1) , если определены произведения матриц и

Доказательство:

Пусть , так как определено , то и определено , то

Определим матрицы:

а)

б)

(1) матрицы, тогда имеют одинаковую размерность

2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковые элементы

из равенства (1) (2), (3). Подставляя (3) в (2) получим:

, тогда (4), (5). Подставляя (5) в (4) получим:

Вывод: Матрицы имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

Умножение матриц

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать