Инвариантные подгруппы бипримарных групп

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Инвариантные подгруппы бипримарных групп

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

Заключение

Список литературы

Введение

В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Инвариантные подгруппы бипримарных групп". Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.

Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.

Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.

В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Теорема. Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , , и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

Теорема. Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , , - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , , - любое натуральное число ;

3) , , - любое натуральное число за исключением , где ; , где - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для дополнительно исключаются числа , , и ; для дополнительно исключаются и .

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.

1. Основные обозначения

группа

порядок группы

класс всех разрешимых групп

класс всех нильпотентных групп

является подгруппой группы

является нормальной подгруппой группы

прямое произведение подгрупп и

подгруппа Фраттини группы

фактор-группа группы по

множество всех простых делителей натурального числа

множество всех простых делителей порядка группы

подгруппа Фиттинга группы

наибольшая инвариантная -подгруппа группы

индекс подгруппы в группе

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам - группам порядка , и - различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй - устанавливался следующий факт: в группе порядка при существует характеристическая -подгруппа порядка , за исключением двух случаев , и , .

Однако группа , являющаяся расширением элементарной абелевой группы порядка с помощью силовской -подгруппы из группы автоморфизмов группы , имеет порядок , и в нет неединичных инвариантных -подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе имеется пробел.

В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в . А именно, изучаются разрешимые группы порядка , где . Основным результатом является

Теорема Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Если и - различные простые числа, и - целые положительные числа, то либо , либо . Поэтому

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать