Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

Курсовая работа

"Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами"

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1. Необходимые определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

– знак строгого включения множеств;

– знак включения множеств;

– принадлежность элемента множеству;

– объединение множеств;

– пересечение множеств;

– является подгруппой группы ;

– является собственной подгруппой группы ;

– является максимальной подгруппой группы ;

– является нормальной подгруппой группы ;

– является субнормальной подгруппой группы ;

– является минимальной нормальной подгруппой группы ;

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

– подгруппа, сопряжённая подгрупп посредством элемента ;

– циклическая группа порядка ;

– симметрическая группа степени ;

– ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в ;

– подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами из , то есть ;

– централизатор множества T в группе G;

– центр группы G;

– нормализатор подгруппы в группе ;

– наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;

– наибольшая нормальная –подгруппа группы ;

– –холловская подгруппа группы ;

– силовская –подгруппа группы ;

– дополнение к силовской –подгруппе в группе , т.е. –холловская подгруппа группы ;

– группа G изоморфна группе ;

Пусть – группа, и , тогда:

– правый смежный класс,

– левый смежный класс;

– правая трансверсаль подгруппы

в группе ;

– левая трансверсаль подгруппы

в группе ;

– индекс подгруппы в группе ;

– порядок группы G;

Пусть и – подгруппы группы и , тогда:

– двойной смежный класс группы по подгруппам

и ;

– факторгруппа группы по подгруппе ;

– прямое произведение подгрупп A и B;

– цоколь группы ;

– коммутатор элементов и ;

– коммутант группы G;

– множество всех простых чисел;

– дополнение к во множестве , где – некоторое множество простых чисел;

–-длина группы .

Введение

Напомним, что подгруппа группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в [7].

Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то субнормальна в [8].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы конечной группы , – нильпотентна [9].

Немного позже было доказано, что при таких условиях, [18].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 1 Пусть , – подгруппы группы и . Тогда мы говорим, что:

(1) является -перестановочной с , если для некоторого имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если для некоторого .

Заметим, что – перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Определение 2 Подгруппа группы называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .

Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств -перестановочных подгрупп.

1. Необходимые определения и обозначения

Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если – бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .