Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Курсова робота

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою й всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою ( - підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор - група будь - якої групи з також належить ;

2) із завжди треба .

Якщо формації й такі, що , то називається підформацією формації .

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх - груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх - груп ( – фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних - груп, клас всіх розв'язних груп, клас всіх розв'язних - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;

2) якщо – деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай – непуста формація. Позначимо через і - корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з , для яких .

Очевидно, - корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою. - корадикал групи позначають інакше через і називають - корадикалом. - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, - розв'язний корадикал, - корадикал і т.д. - корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, - корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай – непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо те

3) якщо й , те

Доказ. Нехай . Тоді

Звідси треба, що . З іншого боку,

звідки одержуємо . З і треба рівність . Твердження 1) доведено.

Нехай – природний гомоморфізм групи на Очевидно,

звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай і – деякі формації. Якщо , то покладемо Якщо , те позначимо через клас всіх тих груп , для яких Клас називається добутком формацій і .

З визначення 1.4 треба, що добуток формацій є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій причому добуток уже визначений, то Зокрема, якщо для будь - якого те ми приходимо до поняття ступеня

Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.

Теорема 1.1. Добуток будь - яких двох формацій також є формацією.

Лема 1.3. Нехай і – нормальні підгрупи групи . Тоді кожний головний фактор групи - ізоморфний або деякому головному фактору групи , або деякому головному фактору групи

Доказ випливає з розгляду - ізоморфізму

Теорема 1.2. Нехай – деяка формація, – клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай – об'єднання формацій Тоді – підформація формації

Доказ. З леми 1.3 виводимо, що – формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо – мінімальна нормальна підгрупа групи , то по індукції для деякого натурального . Але тоді або , або – - корадикал групи . Тому що , те звідси випливає, що , і теорема доведена.

Операції на класах груп

Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.

Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції , застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Добуток операцій визначається рівностями:

Уведемо операції в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли вкладається як підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли вкладається як нормальна підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли є гомоморфним образом якоїсь - групи;

тоді й тільки тоді, коли співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних - підгруп;

тоді й тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що

тоді й тільки тоді, коли є розширенням - групи за допомогою - групи;

тоді й тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що

Якщо , то замість пишуть Оборотний уваг

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать