Разрешимость конечных групп

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Разрешимость конечных групп

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31 Таратын В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1. Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями k несверхразрешимым подгруппам

2. О нормальных подгруппах конечных -обособленных групп

3. К двум теоремам ведерникова

4. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов

Заключение

Литература

Введение

В данной работе рассмотрены различные факты, касающиеся теории конечных групп. В 1 описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам (понятие добавления введено Л.А. Шеметковым). В 2 приведены некоторые факты о нормальных подгруппах конечных -обособленных групп. В 3 приведены обобщение и дополнение теорем В.А. Ведерникова о разрешимости конечных групп представимых в виде произведения подгрупп. В 4 установлена разрешимость конечной группы, являющейся произведением разрешимой и сверхразрешимой подгрупп нечетного индекса и показано что среди простых знакопеременных и спорадических групп лишь и являются произведением разрешимых подгрупп.

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Теорема 2.1 Если - -подгруппа, субнормальная в некоторой -холловской подгруппе конечной -обособленной группы , то .

Теорема 2.2 Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы , то для любого подмножества из .

Теорема 2.3 Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы и , то .

Теорема 3.1 Если группа , где подгруппы и 2-разложимы с модулярными силовскими 2-подгруппами, то разрешима.

Теорема 3.2 Если группа , где - нильпотентная -подгруппа с модулярными силовскими, а - -разложимая подгруппа и , то разрешима.

Теорема 3.3 Если , где - холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими, а - 2-разложимая подгруппа, то разрешима.

Теорема 4.1 (1) Среди знакопеременных и симметрических групп степени лишь группы и являются, -факторизуемыми: .

(2) Среди (двадцати шести) простых спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь группа Матьл является -факторизуемой: .

Теорема 4.2 Пусть с разрешимыми подгруппами и . Если или , или , где и - простые числа, то разрешима.

Теорема 4.3 Пусть группа , где и - подгруппы нечетных индексов. Если разрешима, а коммутант подгруппы 2-замкнут, то разрешима и .

1. Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями k несверхразрешимым подгруппам

В работе Л.А. Шеметков ввел понятие добавления (см. также , с.132). Добавлением к подгруппе конечной группы называется такая подгруппа из , что , но для любой собственной подгруппы из . Если, кроме того, , то называется дополнением к подгруппе .

Ф. Холл установил строение конечной группы, у которой все подгруппы дополняемы (, , с.291). Поскольку в каждой конечной группе любая подгруппа обладает добавлением, то аналогичная задача относительно добавлений охватывает класс всех конечных групп. Однако при дополнительных ограничениях, на добавления или на добавляемые подгруппы можно выделять разнообразные классы групп.

В настоящей заметке описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентным и добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых подгрупп. Доказывается

Теорема 1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все, подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна или , где - 5-группа, либо , где - 3-группа.

Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С.С. Левищенко . Среди них нет неразрешимых групп.

Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в , .

Нам потребуется следующая

Лемма 1. Пусть в конечной группе каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.

Доказательство. Пусть - произвольная подгруппа конечной группы , и пусть - несверхразрешимая подгруппа из . В группе существует нильпотентное добавление к подгруппе . Поэтому , а . Теперь - нильпотентна, и к можно взять нильпотентное добавление в подгруппе .

Пусть - нормальная в подгрупп

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать