Доказательство и его составляющие

В повседневных рассуждениях и тем более в науках стремятся располагать суждения в определенном порядке, в котором переход от одного суждения к другому обоснован логически. Эту последовательность суждений мы называем доказательством.

Если ставится цель установить ложность какого-то суждения, то такое доказательство называется опровержением. Отличие опровержения от доказательства заключается лишь в исследовательской ситуации. Поэтому, все, что говорится о доказательстве, автоматически распространяется на опровержение.

Идеальным для каждой науки был такой способ рассмотрения, который позволял бы доказывать каждое утверждение этой науки.

Однако легко видеть, что этот идеал никогда не может быть осуществлен. Действительно, пытаясь доказать какое-то суждение, мы по необходимости обращаемся к другим положениям, доказывая, в свою очередь, истинность этих положений мы, не впадая в порочный круг, вынуждены обратиться к новым положениям и т.д. Таким образом, перед нами начало процесса, который никогда не может прийти к концу и который, фигурально выражаясь, может быть охарактеризован как бесконечный регресс - regressus in infinitum.

И тем не менее доказывать приходится. Как компромисс между этим недостижимым идеалом и осуществимыми возможностями некоторые суждения помещаются в доказательство без ссылок на другие суждения Тогда они объявляются или аксиомами (при аксиоматическом методе) или допущениями (при гипотеко-дедуктивном методе).

Всякое доказательство состоит из трех частей: тезиса, аргументов или доводов и демонстрации.

Тезис (теорема в математике) - это положение, истинность которого требуется доказать или опровергнуть. Истинность (ложность) доказываемого тезиса обычно не очевидна. Так, трудно усмотреть, что площадь круга равна пr2. истинность этой теоремы устанавливается доказательством. Но и очевидность также обманчива.

Нам кажется, что Солнце вращается вокруг Земли (люди долгое время верили, а многие и сейчас верят, что это так). Доказательство того, что это не так и что птоломеевская модель мироздания иллюзорна, составило главный смысл всех рассуждений Н. Коперника о структуре мироздания.

Аргументы или доводы - это положения, истинность которых установлена тем или иным путем независимо от тезиса, и которые используются в качестве посылок для вывода из них тезиса. Так, при доказательстве теоремы о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, в качестве аргументов используется положение о том, что накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых третьей прямой, равны, а также положение о том, что сумма смежных углов равна двум прямым. В качестве аргументов того, что движущими факторами эволюции видов является, борьба за существование и естественный отбор, Ч. Дарвин привел в своей книге "Происхождение видов" целый Монблан несомненных фактов.

Демонстрация - это последовательная связь положений, которая призвана проиллюстрировать, что тезис логически следует из аргументов.

Всякое доказательство состоит из системы логически правильных умозаключений. Поскольку умозаключения могут быть или дедуктивными или индуктивными, то и доказательства можно разделить на дедуктивные и индуктивные. В дедуктивных доказательствах тезис всегда есть частное суждение. Его истинность устанавливается посредствам демонстрации того, каким образом он логически следует из аксиом, общезначимых истин или ранее доказанных положений.

Этим типично евклидовским способом мы доказываем теоремы математики, теоретической механики, физики, положения многих других наук.

В индуктивных доказательствах, напротив, тезис всегда есть общее суждение, и он обосновывается с помощью частных и даже единичных суждений. Индуктивные доказательства широко используются в эмпирических науках, например, в биологии, медицине, социологии.

Принято различать прямые доказательства и косвенные доказательства. В прямых доказательствах доказывается истинность тезиса. Так, истинность многих теорем геометрии, например, теоремы о том, что в прямоугольном треугольнике сумма оставшихся острых углов равна прямому углу и др. устанавливается прямым доказательством.

В косвенных доказательствах истинность тезиса обосновывается посредствам установления ложности другого суждения, связанного с тезисом. Косвенное доказательство подразделяется на два вида: апогогические косвенные доказательства или доказательства от противного и разделительные косвенные доказательства. В апологических косвенных доказательствах, они известны нам под названием приведение к абсурду (reduction ad absurdum), истинность тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения.

Так, теорему о том, что прямые а и в, параллельные третьей прямой с параллельны между собой доказывается так. Предположим, что прямые а и в не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и выходит, что через эту точку можно привести две прямые а и в, параллельные прямой с, а это противоречит аксиоме о параллельных прямых.

Разделительное косвенное доказательство ведется по одной из схем разделительно-категорического силлогизма, т.е. так:

Каждое А есть либо В, либо С

Данное А есть В

Значит, А не есть С

Каждое А есть либо В, либо С

Данное А не есть В

Значит, А есть С

Так, если установлено, что имело место преступление, которое могли совершить ли