Методические указания для студентов дневного и вечернего отделений механико-математического факультета

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Ростовский государственный университет"

Методические указания

для студентов дневного и вечернего отделений

механико-математического факультета

ЗАДАЧИ К КУРСУ

“МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Ростов - на – Дону

2006

Печатается в соответствии с решением кафедры прикладной математики и программирования механико-математического факультета РГУ, протокол № 6 от "16" февраля 2006 г.

Аннотация

Методические указания предназначены для студентов старших курсов, специализирующихся на математическом моделировании поведения сложных динамических систем. В настоящих методических указаниях приведены примеры использования различных качественных методов исследования устойчивости динамических систем и их асимптотического анализа. В конец каждого параграфа вынесены индивидуальные задания для студентов.

Автор: А.Б. Усов

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Основные понятия математического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Методы исследования устойчивости динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений

равновесия по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Первый метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.3 Второй метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Метод пограничного слоя и его применение для исследования

модели, описываемой уравнением второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1 Первый итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2 Второй итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Введение

Предлагаемые методические указания являются дополнением опубликованных ранее по курсу “Моделирование динамических систем” методических указаний [1-3]. В [1] подробно изложены теоретические вопросы, связанные с составлением и исследованием дифференциальных моделей конкретных физических и социальных процессов, приведены основные теоремы Ляпунова, используемые при исследовании устойчивости равновесий динамических систем, в [2] – приведены асимптотические методы исследования динамических систем в случаях регулярного и сингулярного вырождений, подробно изложены теоретические основы метода пограничного слоя, в [3] – уделено больше внимания отдельным теоретическим вопросам, вскользь затронутым в [1,2]. Предлагаемые методические указания посвящены практическим вопросам исследования устойчивости динамических систем и вопросам асимптотического анализа таких систем при наличии малого параметра при старшей производной, в ней приведено большое количество примеров, иллюстрирующих применение изложенных в [1-3] теорем. В начале каждого параграфа приведены необходимые для проведения исследования теоретические положения, в конец вынесены индивидуальные задания, решение которых поможет лучше овладеть рассматриваемыми вопросами.

1 Основные понятия математического моделирования

Исследование любого объекта математическими методами может быть начато лишь с того момента, когда получено описание его существенных свойств на языке математических соотношений, то есть, описана его математическая модель.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя в себе некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Схема вычислительного эксперимента состоит в следующем.

Исследование объекта начинается с установления основных законов управления объектом и построения соответствующей математической модели, которая обычно представляет запись этих законов в форме системы уравнений. При выборе математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. На этом этапе требуется привлечение ЭВМ и как следствие развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. После написания и отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

К сожалению, построить решение дифференциальной

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать