Законы случайного

Всей нашей жизнью правят законы вероятности. Кто знает, что ждет нас завтра - выигрыш в лотерее или несчастный случай? Точно предсказать будущее невозможно. Но, обладая всей нужной информацией, можно просчитать степень вероятности того или иного события.

Подбрасывая монетку, мы говорим, что вероятность выпадения "орла" или "решки" составляет 50 на 50. Это значит, что из 100 попыток монета ляжет 50 раз "орлом" вверх и столько же - "решкой". Впрочем, говорить о вероятности 50:50 не совсем верно, так как шанс или вероятность данного события - это число происшедших событий, разделенное на общее число полученных результатов. Таким образом, и "орел", и "решка" могут выпасть по 50 раз из 100. Степень вероятности можно выразить как 50%, 0.5, 1 из 2 или 1/2.

Шансы

Иногда вместо вероятности события мы говорим о шансах за или против, соотнося число шансов в пользу и против данного события. В случае с одной монеткой из двух возможных результатов есть один шанс, что "орел" выпадет, и один - что не выпадет. Поэтому их соотношение составляет 1:1, или шансы равны. Говоря, что есть только два возможных варианта падения подброшенной монеты, мы отбрасываем ничтожную вероятность падения монеты на ребро. Однако при вычислении шансов это не имеет абсолютно никакого значения - этим результатом пренебрегут и подбросят монету еще раз. Теперь попробуем подбрасывать сразу две монетки. В результате будут выпадать либо два "орла", либо две "решки", либо "орел" и "решка". Казалось бы, шанс каждого из этих результатов равен 1/3. Однако, подбросив две монетки 100 раз подряд, вы обнаружите, что два "орла" и две "решки" выпали примерно по 25 раз, а комбинация одного "орла" с одной "решкой" - около 50. Значит, шансы для двух "орлов" и двух "решек" составляют примерно по 1/4, зато для одного "орла" и одной "решки" - около 50/100 или 1/2. Почему же так получается?

Ответ легко найти, если взять одну медную и одну серебряную монетку. Комбинация "орел-решка" может выпасть двумя способами: либо медный "орел" и серебряная "решка", либо наоборот. Иными словами, возможных результатов здесь не 3, а 4. Два из них дают комбинацию "орла" и "решки", и только по одному - два "орла" и две "решки". Вот почему комбинации "орел-решка" выпадают вдвое чаще, чем любая другая. В этом случае шансы против двух "орлов" составляют 2:1 и столько же против двух "решек", тогда как у комбинации "орел-решка" шансы 1:1.

Перестановки

В случае с двумя монетами математик сказал бы, что существуют четыре возможные перестановки "орла" и "решки", но лишь в трех возможных сочетаниях. Иными словами, перестановка "орел-решка" не идентична перестановке "решка-орел", но обе составляют одно сочетание. Здесь нетрудно запутаться, так как в повседневной жизни эти слова применяются в другом значении. Цифровой замок, открывающийся комбинацией 1-2-3-4, не откроется, если набрать 1-3-2-4. Будучи одним математическим сочетанием, оба набора цифр являются разными перестановками. Так что правильнее назвать этот замок "перестановочным". Также неправильно называют пермутацией, или "перм", сочетание цифр на футбольном купоне.

Общее число перестановок, получаемых при подбрасывании монет, можно вычислить, перемножив количества вариантов падения каждой монеты. Имея две монеты, мы получим 2x2 = 4 перестановки. С 4 монетами получится 2 х 2 х 2 х 2=16 перестановок.

Таким же способом можно просчитать число перестановок для игральных костей. Скажем, для двух костей их число равно 6 х 6 = 36, а для трех - 6x6x6 = 216.

Каков шанс того, что у двух первых попавшихся человек совпадут дни рождения? Если пренебречь лишними днями високосных лет, тогда он равен 1/365. Иначе говоря, это весьма маловероятно. Если взять класс из 36 учеников, можно подумать, что шанс такого совпадения все еще невелик - примерно 36 из 365 или 1/10. Но, как ни удивительно, на самом деле он гораздо выше - 8:10 или 80%.

Единственной трудностью в таких задачах является большое число возможных перестановок. День рождения может совпасть у Джона и Мэри, у Мэри и Фреда или у любой другой пары учеников. А в классе из 36 ребят существуют 630 возможных пар. Дело в том, что есть 36 вариантов выбора первого члена пары и 35 - второго. Перемножив 36 на 35, мы получим 1260 перестановок, но число сочетаний вдвое меньше этой цифры, так как, например, перестановки "Джон-Мэри" и "Мэри-Джон" являются одним сочетанием. Поэтому общее число сочетаний равно 1260/2 = 630. К счастью, вместо того чтобы рассматривать все эти варианты, нашу задачу можно решить проще. Рассмотрим вариант полного несовпадения дней рождения.

Если мы попросим всех учеников по очереди назвать свой день рождения, то 364 шанса из 365 или 364/365 будут за то, что второй из названных дней не совпадет с первым. Шанс несовпадения третьего из названных дней с первыми двумя составляет 363 из 365, так как теперь могут совпасть уже две даты из 365. Продолжив до конца, вы обнаружите, что шанс несовпадения Зб-го по счету дня рождения с остальными равен 330/365 или около 90%. Впрочем, шанс полного несовпадени