Сопротивление материалов при нагрузке

Вариант 37

Задача 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10^-4 м² . Модуль упругости материала стержней Е = 2×10⁵ МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10^–6 1/град.Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.

Требуется:

1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.

2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр .

3. Сравнить полученные результаты.

4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d₂ = 2∙10^-3 м

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt₁ = -40°С.

6. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].

Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N₁ и N₂ . Составим уравнение моментов относительно точки О:

При неизвестных реактивных усилиях N₁ , N₂ , R_ox , R_oy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:

ССН = m – n,

где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁ О и СС₁ О имеем:

.

Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.

АА₁ =Dl₂ , , KА₁ =Dl₁ . То есть:

По закону Гука имеем:

; .

Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:

м

Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:

.

Тогда, . Окончательно имеем: N₂ = 1,3×N₂

Из этого выражения видно, что N₁ <N₂ . Соответственно, напряжения в первом стержне s_I меньше, чем напряжения во втором s_II . Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: s_II = [s] и кН. Значение N₁ = 24,62 кН.

Оба стержня сжаты.

Найдем напряжения в обоих стержнях: s_II = [s] = -160 МПа; s_I = -123,1 МПа. растянуты.

Подставим значения сил N₁ и N₂ в первое уравнение и определим значение [Q]:

кН.

2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр .

Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести s_т : s_I = s_II = s_т

Составляем уравнение предельного равновесия:

;.

Предельные усилия в каждом из стержней:

.

Решаем относительно предельной нагрузки для системы:

.

Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]_пр определяется как:

,

где n – коэффициент запаса прочности.

С учетом, что получим [Q]_пр = 23,51 кН.

3. Сравнить полученные результаты.

Определяем погрешность между расчетами:

%.

По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%).

4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d₂ =1,5 мм.

Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А₁ . В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N₁ и N₂ . Составим уравнение статики:

;

Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁ О и ВВ₁ О имеем:

;

; ;

KВ₁ =Dl₁ .

По закону Гука:

; .

Решая совместно уравнения получим:

N₁ = 29,76 кН; N₂ = 41,34 кН.

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

s_I =148,8 МПа; s_II = -206,7 МПа.

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt₁ =40°.

Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В₁ . В связи с этим, в стержня

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать