Анализ переходных процессов в электрических цепях

1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

1.2 Классический метод

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Классический метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой конкретной задачи.

Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения.

1.3 Операторный метод анализа переходных процессов

Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым.

В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:

,

где f(t) – однозначная функция времени, называемая оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым изображением.

2.2 Определение переходных процессов классическим методом

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определить классическим методом напряжения и токи переходного процесса. Построить графики переходных процессов.

2.2.1 Решение дифференциального уравнения для тока на емкости

Принужденная составляющая тока на индуктивности, поэтому

2.2.2 Определение корней и

Для определения корней характеристического уравнения и составляется эквивалентная операторная схема цепи (рисунок 2.5), далее находится операторное входное сопротивление и приравнивается к нулю ().

Рисунок 2.5 Эквивалентная операторная схема цепи.

Операторное сопротивление емкости , а индуктивности , тогда

Условие выполняется, если числитель равен нулю:

корни этого уравнения:

;

Подставим значения и в уравнение для :

2.2.3 Определение произвольных постоянных и

Используем значение самой функции и ее производной при , т.е. учтем начальные условия. Учитывая, что :

,

откуда получаем первое уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Для получения второго уравнения найдем (при ) значение :

откуда получаем второе уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Совместное решение двух уравнений

дает значения произвольных постоянных:

После подстановки произвольных постоянных в выражение для получаем:

Контроль вычислений

При ,

При ,

Это соответствует данным таблицы 1.

Расчет остальных токов и напряжений:

A ) Напряжение

:.

Контроль вычислений: ; .

Б )Напряжение

Контроль вычислений:

В) Напряжение :

.

Контроль вычислений: ; .

Г) Ток :

.

Контроль вычислений: ; .

Д) Ток :

.

Контроль вычислений: ; .

Е) Напряжение :

.

Контроль вычислений: ; .

Результаты вычислений:

,

,

,

,

,

,

.

2.3 Построение графиков

электрическая цепь операторный

Для построения графиков переходного процесса воспользуемся ЭВМ.

Рис. 2.6 Зависимость тока i 1 от времени.

Рис. 2.7 Зависимость тока iL от времени.

Рис. 2.8 зависимость тока i 3 от времени.

Рис. 2.9 Зависимость напряжения на ёмкости U с от времени.

Рис. 2.10 Зависимость напряжения на индуктивности UL от времени.

Рис. 2.11 Зависимость напряжения на резисторе UR 1 от времени.

Рис. 2.12 Зависимость напряжения на резисторе UR 2 от времени.

2.4 Расчет графиков переходного процесса

А)Определение экстремумов и точки перегиба .

Наиболее сложную форму имеет график Для него необходимо рассчитать экстремум и точку перегиба.

Продифференцируем выражение

,

.

Найдем значение производной при :

.

Производная для меньше нуля , следовательно кривая в окрестности данной точки убы

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать