Трехмерное напряжение и деформированное состояние

ТРЕХМЕРНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

1. Напряжённое состояние в точке

Вспомним, как нами было введено понятие напряжения. Рассмотрим тело, находящееся под действием системы уравновешенных сил (рис.48).

Рис.48

Будем исследовать внутренние силы в малой области окружающей точку , для чего проведём через данную точку сечение, рассекая тело на две части, и отбросим одну из них. Действие отброшенной части заменим внутренними силами (рис.49).

Рис. 49

Выделим малую площадку , содержащую точку . Внешнюю нормаль этой площадки обозначим .

Результирующую внутренних сил, действующих на площадку , обозначим. Деля результирующую на получим величину среднего напряжения по площадке

Величина зависит от размеров площадки. Чтобы избавиться от влияния размеров площадки , перейдём к пределу и будем стягивать площадку к точке

(1)

Величину будем называть полным напряжением в точке по площадке с внешней нормалью .

Совершенно очевидно, что если мы выберем другую площадку, проходящую через точку , но ориентированную другим образом, то в общем случае вектор полного напряжения окажется иным.

Совокупность всех векторов полного напряжения по всем площадкам, проходящим через данную точку, составляет напряженное состояние в данной точке.

Напряжённое состояние в данной точке известно, если известны напряжения по трём взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку.

Докажем это важнейшее положение.

Нас интересует напряжённое состояние в точке . Выделим в окрестности этой точки малый прямоугольный параллелепипед (рис.50). Размеры параллелепипеда настолько малы, что напряжённое состояние в пределах параллелепипеда можно считать однородным, и что грани параллелепипеда являются площадками, проходящими через точку и имеющими внешними нормалями оси

Рис. 50

Полное напряжение можно разложить на три составляющие, направленные по координатным осям. Всего будем иметь 9 компонент напряжённого состояния: три нормальных и шесть касательных напряжений. Нормальные напряжения обозначим и припишем индекс, указывающий внешнюю нормаль.

Например: — нормальное напряжение по площадке с внешней нормалью .

Касательные напряжения обозначаются с двумя индексами. Первый индекс указывает площадку, второй – направление напряжения.

Например — касательное напряжение по площадке с внешней нормалью , параллельное оси Y .

Нормальное напряжение считается положительным, если оно направлено по внешней нормали, т.е. является растягивающим.

Касательные напряжения считаются положительными, если при положительной внешней нормали они направлены в сторону положительных координатных осей.

Совершенно очевидно, что по противоположным граням параллелепипеда действуют равные по величине и противоположные по направлению напряжения.

Заметим также, что хотя на рис.50 компоненты напряжённого состояния показаны в виде векторов, они являются величинами скалярными.

Докажем, что касательные напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам равны. Т.к. тело, из которого вырезан элементарный параллелепипед, находится в равновесии, то условия равновесия применимы и к элементу объёма. Запишем условие, что сумма моментов всех сил приложенных к элементарному параллелепипеду относительно координатных осей равна нулю

Раскроем первое из этих уравнений

,

откуда

т.е. закон парности касательных напряжений.

Два других уравнения дадут равенства:

;

Таким образом, независимых составляющих 6.

А теперь докажем положение высказанное на стр.2 о том, что зная напряжения, действующие по любым трём взаимно перпендикулярным площадкам, можно определить напряжения по любой площадке, проходящей через данную точку.

Вырежем в окрестности исследуемой точки элементарный тетраэдр с бесконечно малыми рёбрами. Три грани тетраэдра параллельны координатным плоскостям, а четвёртая наклонна к первым трём и её внешняя нормаль (рис.51).

Рис. 51

Напряжения

(2)

возникающие по площадкам с внешними нормалями считаем известными.

Нужно найти полное напряжение по площадке с внешней нормалью —. Составляющие полного напряжения, направленные по координатным осям обозначим .

Направляющие косинусы нормали обозначим:

;; (3)

Если принять площадь грани —, то площади остальных граней

;;

Составим уравнения равновесия для тетраэдра

Используя также условия;, получаем следующие соотношения

(4)

Совокупность 6 компонент напряжённого состояния (2) составляет тензор напряжений. Зная тензор напряжений (2), можно с помощью соотношений (4) определить напряжения по любой площадке в данной точке.

Величина полного напряжения определится

Для того чтобы определить нормальное напряжение по площадке с внешней нормалью , надо спроектировать на нормаль составляющие полного напряжения (рис.52).

Рис. 52

Подставляя выражение (4), получаем:

(5)

Касательное напряжение определяется

2. Главные напряжения

В окрестности любой точки существуют три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения по которым равны н

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать