Взаимодействия двух радикально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

МИНЕСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания

КУРСОВАЯ РАБОТА

взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.

Научный руководитель: д. ф. – м. н. Аганин А. А.

Казань – 2007

Содержание

Введение

1. Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

2. Математическая модель взаимодействия пузырьков

3. Методика решения

4. Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

5. Заключение

6. Литература

7. Приложение. (Программа расчета).

Введение

К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.

В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки – осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем – сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т.д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т.д. степеней – отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени – эллипсоидальные отклонения, третьей – грушеобразные и т.д.).

Созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.

Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями

, . (1)

Здесь – время эйлеровых (неподвижных) систем координат , , (нижний индекс означает частную производную), – вектор скорости, – плотность жидкости, – давление, , , , –направляющие векторы пространственных координат. Здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).

Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси неподвижной декартовой системы координат (рис.1).

На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:

кинематическое

, (2)

и динамическое

. (3)

Здесь – скорость точки поверхности пузырька, – нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (–) сторонам поверхности.

Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)

, (4)

где – начальное давление газа в пузырьке, – текущий и начальный объемы пузырька, – постоянная, – показатель адиабаты.

На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости совершает гармонические колебания

, (5)

где – статическое давление в жидкости, , – амплитуда и частота колебаний.

Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.

Математическая модель взаимодействия пузырьков

В пятом приближении относительно уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков , координат их центров

;

;

;

;

Методика решения

Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго поряд

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать