Кручение упругопластического стержня

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

КУРСОВАЯ РАБОТА

Дисциплина: Математические и численные методы

механики сплошных сред

Тема: Кручение упругопластического стержня

Санкт-Петербург

2008

Содержание

Содержание. 2

1. Физическая мотивация. 3

2. Математическая корректность. 5

2.1 Существование решения. 5

2.2 Единственность решения. 6

2.3 Устойчивость решения. 6

3. Аппроксимация. 7

4. Численный метод. 8

5. Тесты.. 9

Выводы.. 16

Список литературы.. 17

1. Физическая мотивация

В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.

Рис.1 Стержень длины h

– основание стержня, описываемое уравнением ,

– основание стержня, описываемое уравнением ,

– боковая поверхность стержня.

Сделаем следующие предположения:

1. стержень сделан из изотропного материала;

2. на стержень не действуют объемные силы;

3. боковая поверхность свободна от нагружений;

4. на и ;

5. на ;

6. на ;

7. на ;

Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:

(1.1)

Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству

(1.2)

Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси , где – угол закрутки на единицу длины.

В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле минимизирует функционал

(1.3)

Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты , кроме и , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:

(1.4)

Введем функцию тока и положим:

Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.

Уравнения на части границы можно представить в виде:

(1.5)

С другой стороны, (1.6)

Следовательно, , т.е. на границе . Не умаляя общности, можем положить на . Значит, .

Рассмотрим условие пластичности Мизеса:

, – предел текучести материала. (1.7)

В данном примере, . Отсюда, почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах , получаем

(1.8)

В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:

З1 : Найти такое, что достигает минимума функционал

,

где , (1.9)

– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить .

Если ввести билинейную форму , элемент и скалярное произведение , то задача З1 запишется в виде

(1.10)

или в форме вариационного неравенства: (1.11)

2. Математическая корректность

Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.

Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:

1) ее решение существует (условие существования);

2) решение единственно (условие единственности);

3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).

Проверим выполнение всех трех условий.

2.1 Существование решения

Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.

(2.1.1)

– рефлексивное банахово пространство,

Подмножество является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.

Покажем, что – непрерывный и выпуклый функционал.

(2.1.2)

Пусть : в

Тогда в и в , при

Следовательно, ,

т.е. функционал является непрерывным.

Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.

(2.1.3)

Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.

2.2 Единственность решения

Утверждение 1. Билинейная форма – V-эллиптическая.

Доказательство: (в силу эквивалентности норм в пространстве );

Утверждение 2. Решение задачи З1 единственно.

Доказательство:

Будем доказывать это утверждение от противного.

Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .

Тогда, из (1.11) выполнено: (2.2.1)

(2.2.2)

Подставим в (2.2.1) вместо , в (2.2.2) вместо .

Получим (2.2.3)

(2.2.4)

Умножим (2.2.4) на -1:

Отсюда,

Форма – эллиптическая, .

Окончательно,

2.3 Устойчивость решения

Решение должно удовлетворять неравенству (2.3.1)

Перепишем неравенство (2.3.1) как (2.3.2)

Неравенство (2.3.2) выполняется для : (2.3.3)

Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:

(2.3.4)

Левую часть (2.3.3) оценим снизу:

(2.3.5)

Тогда (2.3.6)

- первое основное неравенство

3. Аппроксимация

, иначе

Рассмотрим семейство конечномерных пространств , каждое из которых является внутренней аппроксимац

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать