Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі

Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі

Поняття геометричного місця точок у просторі (ГМТ) має велике методичне і загальноосвітнє значення. Неможливо переоцінити його роль у розвитку просторової уяви.

Розв'язування задач, в яких застосовуються геометричні місця точок як на площині, так і в просторі, активізують творчу думку і фантазію, розвивають логічне мислення, кмітливість, змушують перебирати в пам’яті всі відомі теореми з метою відбору і застосування найбільш придатної з них.

Однак, між ГМТ на площині і ГМТ у просторі є принципова різниця.

У планіметрії ГМТ можна побудувати за допомогою креслярських інструментів. Наприклад, коло побудувати за допомогою циркуля, пряму, промінь, відрізок - за допомогою лінійки.

У стереометрії не існує реального інструмента ''сферографа", щоб побудувати у просторі сферу або лінію перетину двох сфер, якщо вона існує.

Звичайно, ці побудови можна здійснити на проекційному кресленні, але виконання їх у більшості випадків громіздке, потребує багато часу і неабияких креслярських знань і навичок.

У просторі доводиться обмежуватись "уявним" проведенням прямих, площин, сфер тощо. Можливість таких побудов встановлюється певними аксіомами.

Що ж таке геометричне місце точок у просторі?

На площині ГМТ визначається так:

Геометричним місцем точок називається фігура, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.

Якщо на площині розглядається геометричне місце тільки точок, то у просторі можна розглядати геометричні місця не тільки точок, але й ліній (як прямих, так і кривих), і тому можна дати таке означення ГМТ у просторі:

Геометричним місцем точок у просторі називається деяка фігура, що складається з усіх об’єктів простору, положення яких задовольняє одній або кільком певним умовам.

У цьому формулюванні замість слова "точка" застосовується термін “об’єкт”, бо це більш широке поняття і включає в себе не тільки точки, але й лінії. При цьому часто одну і ту ж геометричну фігуру можна розглядати як геометричне місце точок і як геометричне місце ліній.

Наприклад, площини α₁ , α₂ , паралельні площині β і віддалені від неї на відстань a , є:

- геометричне місце точок простору, віддалених від площини β на відстань a ;

- геометричне місце прямих простору, паралельних площині β і віддалених від неї на відстань a ;

- геометричне місце кривих, які лежать у площині, паралельній даній площині і віддаленій від неї на відстань a ;

- геометричне місце фігур, які лежать у площині, паралельній даній площині і віддаленій від неї на відстань а.

Циліндрична поверхня, утворена обертанням прямої навколо паралельної їй прямої АВ і віддаленої від неї на відстань a, є:

- геометричне місце точок простору, віддалених на відстань a від даної прямої АВ;

- геометричне місце прямих простору, паралельних даній прямій АВ і віддалених від неї на відстань a ;

- геометричне місце кіл радіуса a , центри яких лежать на даній прямій АВ, а їх площини перпендикулярні до АВ;

- геометричне місце рівних еліпсів, центри яких знаходятся на прямій АВ, а їх площини утворюють з прямою АВ один і той же кут α.

Геометричні місця у просторі надзвичайно різноманітні. Деякі з них є природним узагальненням геометричних місць на площині, є ніби їх стереометричними аналогами (наприклад, сфера є стереометричний аналог кола, площина - аналог прямої тощо).

При переході до вивчення просторових геометричних місць точок доцільно пригадати основні геометричні місця точок на площині. Причому отримані результати зручно подати у вигляді таблиці.