Обратное дискретное преобразование Лапласа

Предмет: Теория Автоматического Управления

Тема: Обратное дискретное преобразование Лапласа

1. Обратное дискретное преобразование Лапласа

Решетчатая функция – это результат временного квантования непрерывного сигнала – которая представляет значение непрерывного сигнала в дискретные моменты времени. Решетчатая функция получается перемножением непрерывной функции на сигма-функцию. Ее можно определить по ее изображению, используя различные способы:

1. С помощью формул обратного дискретного преобразования Лапласа.

2. С помощью разложения на простые дроби.

3. С помощью разложения в степенной ряд.

В данном реферате мы рассмотрим обратное дискретного преобразование Лапласа.

2. Определение оригинала с помощью формул обратного дискретного преобразования Лапласа

Для непрерывных оригиналов обратное преобразование Лапласа имеет вид:

(1)

Для нахождения формул обратного дискретного преобразования Лапласа установим связь между плоскостями p и z. Отображение плоскости P в плоскость Z осуществляется с помощью подстановки z = e^pT .

Так как p = c+jw, то z = e^pT = e^cT e ^{j w T} , где e^cT - модуль z, а wT- фаза z.

Если с = 0, то

.

Соответствие между плоскостями p и z отображено на рис. 3.

z = e ^pT

Рис. 1

Точки на мнимой оси дискретной плоскости будут повторяться, поэтому на плоскости можно выделить бесконечное множество полос с шириной w_п (0.. w_п , w_п ..2w_п и т. д.), которые дают одно и тоже изображение в плоскости Z_. Корни в плоскости P являются периодическими, повторяющимися и заключены в любую из полос. Если С > 0, что соответствует правой полуплоскости, то амплитуда z > 1.

Интегрировать можно по частотам расположенным в любой из полос, считая ее как основную, а значения интеграла в других полосах просуммировать. Для удобства интегрирования в качестве основной полосы принимаем полосу частот от -w_п /2 до w_п /

При переходе в плоскость Z интегрирование осуществляется по замкнутому контуру.

Пример 7. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение определяется соотношением

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, их количество n = 1 и

кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

Т. е. заданному изображению соответствует единичная функция.

Пример 8. Определить непрерывную функцию, если дискретное изображение имеет вид

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, их количество n = 1 и

кратность m =

Определяем оригинал, используя формулу обратного дискретного преобразования

Пример 9. Определить непрерывную функцию, если дискретное изображение имеет вид

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, их количество n = 1 и кратность m = Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

Пример 10. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = d, их количество n = 1 и

кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

Пример 11. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = 1, z₂ = d, их количество

n = 2 и кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

Пример 1 Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение равно

Решение: Определяем значения полюсов z₁ = d их количество n = 1 и кратность m = 1. Используя формулу обратного дискретного преобразования, определяем оригинал

3. Определение оригинала с помощью разложения на простые дроби

Дискретное изображение можно разложить на простые дроби и, используя табличные значения изображений для каждой составляющей, входящей в разложение, найти оригиналы.

Пример 13. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение определяется соотношением

Решение: Представим x(z) в виде простых дробей

Значения параметров A и B находим методом неопределенных коэффициентов

Определение оригинала с помощью разложения дискретного изображения в степенной ряд

Для выхода импульсного элемента можно записать соотношение

Таким образом, формула прямого дискретного преобразования может быть использована для получения оригинала по изображению, так как x[nT] в формуле прямого дискретного преобразования представляет значения непрерывного сигнала в дискретные моменты времени.

Любая x(z) представляет отношение степенных полиномов.

(5)

Если это отношение разложить в ряд по степеням z, то коэффициенты при z представляют собой значения оригинала. Дробно – рациональную функцию можно разложить в ряд путем деления числителя на знаменатель или представить в виде суммы простых дробей.

Пример 14. Определить непрерывную функцию, если ее дискретное изображение определяется соотношением

Решение: Выполняем почленное деление полиномов

z z-d

-z+d

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать