Спектры элементарных возбуждений в двупериодических одномерных системах

Содержание

Введение

Глава 1.Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки

Глава 2. Проводимость двустеночной углеродной нанотрубки

Выводы

Список использованных источников

Приложение

Введение

Современная металло-оксидно-полупроводниковая микроэлектроника фактически достигла пределов быстродействия и степени интеграции. Дальнейшее развитие электроники связывают с уменьшением размеров устройств до наномасштабов с использованием новой элементной базы. Поэтому на сегодняшний день большой интерес вызывают так называемые квазиодномерные системы, примерами которых являются полимеры, нанотрубки на основе углерода, кремния и других материалов. В настоящее время нанотрубки уже выпускаются серийно многими фирмами, например, SES Research, Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США.

Нанотрубки бывают одностеночными и многостеночными. Одностеночная нанотрубка представляет собой графитовую плоскость, различным образом свернутую в цилиндр. Она характеризуется так называемыми индексами хиральности, и в зависимости от этих индексов может быть как металлом, так и полупроводником. Диаметр такой трубки порядка нанометров, а длина достигает микрометров, поэтому она занимает промежуточное положение между молекулой и кристаллом, что проявляется в наличии специфических свойств, в частности, зонной структуры в спектре электронов. Одностеночные нанотрубки уже достаточно хорошо изучены.

Многостеночная нанотрубка представляет собой либо несколько одностеночных трубок, вложенных друг в друга, либо графитовую плоскость, свернутую в несколько слоев в виде свитка, либо цилиндрическую структуру, составленную из небольших графитовых фрагментов и напоминающую папье-маше. В отличие от одностеночных, свойства многостеночных нанотрубок изучены намного хуже.

Целью данной работы является исследование спектров элементарных возбуждений двупериодических одномерных систем, примером которых являются двуслойные углеродные нанотрубки. Для этого с помощью метода сильной связи рассматривается спектр упрощенной модели нанотрубки в виде двух параллельных цепочек атомов, определяется уровень Ферми такой системы и исследуется ее проводимость. Все вычисления производились в программе, написанной на языке C++ в среде Microsoft Visual Studio 2008 с использованием библиотек Win32.

Глава 1. Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки

Для исследования электронного спектра двустеночной углеродной нанотрубки воспользуемся моделью, в которой нанотрубка представляет собой две параллельные регулярные цепочки атомов с разными периодами. При этом, однако, в силу периодичности системы будем пользоваться результатами теоремы Блоха, поэтому необходимо потребовать, чтобы отношение периодов цепочек выражалось рациональной дробью.

Сначала рассмотрим систему, представляющую собой линейную цепочку атомов, расстояние между которыми а , и определим энергетический спектр электрона в такой системе.

Будем пользоваться приближением сильной связи и искать волновую функцию электрона в виде:

,в (1.1)

где - волновая функция электрона на изолированном n -ом атоме цепочки. Для удобства обозначим . Далее, минимизируя функционал энергии при условии нормировки волновых функций :

(1.2)

получим:

(1.3)

Выделим в потенциальной энергии слагаемые с и воспользуемся тем, что решения для электронов на изолированном атоме известны:

, (1.4)

где - обменный интеграл. Далее учтем, что в методе сильной связи он считается ненулевым только для ближайших соседей, и получим:

(1.5)

(1.6)

В силу трансляционной симметрии волновую функцию можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла теореме Блоха, тогда коэффициенты будут иметь вид . Подставим их в (1.6) и получим выражение для энергетического спектра электрона:

(1.7)

где - энергия основного состояния электрона в изолированном атоме, к – волновой вектор.

Теперь рассмотрим две такие цепочки атомов, расположенные на некотором расстоянии d друг от друга. Расстояние между атомами в первой цепочке по-прежнему a , во второй – b . Если пренебречь возможностью перескока электрона с одной цепочки на другую, то собственные волновые функции электронов будут иметь следующий вид:

- описывает движение электрона с энергией по первой цепочке;

- описывает движение электрона с энергией по второй цепочке;

Теперь учтём, что при таком расположении цепочек появляется вероятность перескока электрона с одной из них на другую. Тогда в гамильтониане системы появятся недиагональные вклады:

, (1.8)

где - матричные элементы оператора взаимодействия, ответственного за перескок электронов. Считая его достаточно малым, вычислим поправки к энергии, воспользовавшись теорией возмущения для вырожденного уровня. Волновую функцию системы представим в виде линейной комбинации . Тогда соответствующее секулярное уравнение примет вид:

(1.9)

Отсюда получим энергию нашей системы:

(1.10)

Уровень Ферми в такой системе расщепляется. Это следует из того, что значения интегралов перекрытия γ₁ и γ₂ принимают разные значения, вследствие этого происходит перекрытие зон. Формула для энергии уровня Ферми упростится, если мы будем считать,

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать