Последовательные правила различения сложных гипотез

7. Последовательные правила различения

сложных гипотез.

7.1. Общие положения.

Как уже упоминалось, одно из условий, при которых доказана теорема Вальда-Вольфовитца об оптимальности вальдовской процедуры, состоит в том, что различаемые гипотезы являются простыми , т.е. выборочные распределения, соответствующие гипотезам и полностью известны. Для представляющего основной практический интерес случая различения сложных гипотез общие принципы построения оптимальных последовательных процедур остаются теми же, что и при фиксированном объеме выборки. Однако необходимо учитывать ряд особенностей, порождаемых случайным объемом выборки последовательной процедуры. Проиллюстрируем сказанное двумя наглядными примерами.

7.2 Сигнал с неизвестным энергетическим параметром.

До сих пор мы предполагали, что если справедлива гипотеза , т.е. сигнал присутствует, то его амплитуда совпадает с расчетным значением , которому соответствует распределение . На практике амплитуда сигнала может отличаться от расчетной (быть как меньше, так и больше последней). В терминах теории статистических решений эта ситуация означает, что простой гипотезе противопоставляется односторонняя альтернатива: .

Естественный подход к задаче различения таких гипотез в классе правил с фиксированным объемом выборки состоит в том, что обнаружитель рассчитывается на некоторое минимальное значение расчетного сигнала , для которого при заданном объеме выборки вероятность пропуска не превышает допустимой. Вероятность обнаружения сигналов с параметром , отличающимся от расчетного, определяется характеристикой обнаружения (см. раздел 5).

Аналогичный подход возможен и при последовательном анализе; характеристика обнаружения такой процедуры приведена на рис.7.1, там же изображены зависимости математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры от отношения . Отличительной особенностью этих зависимостей является характерный максимум, наблюдаемый при некотором .

Описанный эффект нарастания математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры часто называют “резонансом длительности ”. В случае симметричных порогов резонанс длительности наступает при равенстве нулю среднего приращения решающей статистики , когда решающая статистика совершает случайные блуждания между порогами, не имея регулярного “сноса” ни к одному из них. При несимметричных порогах резонанс наступает при наличии некоторого “сноса” в сторону более удаленного порога. Необходимо подчеркнуть, что и в точке резонанса длительность последовательной процедуры остается конечной , (ее мат. ожидание в этом случае определяется не формулой (7.4), а зависит от дисперсии решающей статистики). Следует также отметить, что в большинстве случаев последовательное решающее правило при всех значениях требует среднего объема выборки, не превышающего объема выборки правила Неймана-Пирсона, обеспечивающего ту же вероятность правильного обнаружения .

Тем не менее, с точки зрения практики эффект резонанса длительности последовательной процедуры, связанный с неоптимальностью вальдовского решающего правила при всех значениях параметра , не совпадающих с расчетными значениями и , нежелателен. Ниже будут рассмотрены методы уменьшения этого эффекта.

7.3. Многоканальная последовательная процедура с независимыми решениями.

Пусть в некоторой области пространства параметров решается задача проверки простой гипотезы об отсутствии в ней сигналов против сложной альтернативы о наличии сигналов, при этом решение в пользу должно сопровождаться оценкой числа сигналов и неизвестного параметра каждого из них, т.е. система должна обладать разрешающей способностью по этим параметрам. Из двух возможных вариантов построения схемы совместного обнаружения -оценивания – многоканальной и следящей (самонастраивающейся) рассмотрим только первый вариант. (Следящие схемы, обеспечивающие обнаружение и разрешение нескольких одновременно наблюдаемых сигналов оказываются весьма сложными ). Типичным примером такой ситуации является обнаружение в РЛС с разрешением по дальности или () доплеровской скорости. Проверка гипотез о наличии или отсутствии цели при этом проводится параллельно во всех элементах разрешения (каналах), принадлежащих одному угловому направлению и наблюдение должно продолжаться до тех пор, пока не будет принято решение относительно каждого из них. За оценки неизвестных параметров в первом приближении могут быть приняты номера каналов в которых принято решение о наличии целей.

В рамках правил с фиксированным объемом выборки для решения поставленной задачи вполне обоснованно применяется так называемое правило с независимыми решениями . Согласно этому правилу, решение в каждом канале принимается на основании сравнения накопленного в нем за шагов парциального отношения правдоподобия (или его логарифма ) с решающим порогом ; при в соответствующем канале принимается гипотеза , в противном случае - . Как было показано (см. раздел 4;5) вероятность ложной тревоги на выходе такой системы . Для того, чтобы поддерживать на фиксированном уровне, при увеличении числа каналов необходимо обратно пропорционально уменьшать величину , что эквивалентно увеличению решающего порога примерно пропорционально .Одновременно, для поддержания постоянства вероятност