Устойчивость линейных систем автоматического управления
Реферат
на тему:
"Устойчивость линейных систем автоматического управления"
1. Общие понятия устойчивости
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия возмущения. Устойчивость – это одно из основных требований, предъявляемых к системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим математическое понятие устойчивости.
Движение линейной системы автоматического управления описывается линейным, неоднородным уравнением:
при этом правая часть – входное воздействие, а левая – реакция выхода.
Решение уравнения можно записать в виде:
(1)
где - представляет собой общее решение однородного уравнения и определяет переходный процесс; - представляет собой частное решение неоднородного уравнения и определяет установившийся режим.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
, (2)
где: Ск – постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий; - корни характеристического уравнения:
Рассмотрим характер решения при различных значениях корней характеристического уравнения.
1. Если корни действительные однократные
2. Если корни действительные кратные
3. Если корни комплексно – сопряженные однократные
4. Пусть корни комплексно – сопряженные кратные
Для того чтобы система была устойчивой решение должно удовлетворять условию
(3)
Это условие выполняется, если корни характеристического уравнения системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Характеристическое уравнение системы можно представить в виде:
(4)
Если уравнение содержит хотя бы один положительный корень, то хотя бы один коэффициент характеристического уравнения будет отрицательным. Необходимое, но недостаточное условие устойчивости (при n > 2) системы – это положительность коэффициентов характеристического уравнения.
Для нахождения корней характеристического уравнения необходимо решать алгебраические уравнения. Аналитическое решение уравнений 3-го и 4-го порядка громоздки, а уравнение выше 4-го порядка не имеют аналитического решения.
В теории автоматического управления разработан ряд так называемых критериев устойчивости, которые позволяют, не решая уравнений определять устойчивость систем.
2. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а0 >0 определитель Гурвица, составленный для характеристического уравнения , и все его диагональные миноры были положительны.
Определитель Гурвица имеет вид:
(5)
Диагональные миноры определяются соотношениями
(6)
Рассмотрим частные случаи
1. Для системы первого порядка (n = 1) характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости:
2. Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:
3.
Условие устойчивости:
4. Для системы третьего порядка (n = 3) характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости:
Для систем 1-го и 2-го порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. Для системы 3-го порядка должно выполняться дополнительное условие
Достоинство критерия:
1. Высокая точность, так как это алгебраический критерий.
2. Простота для систем невысокого порядка.
Недостатки критерия:
1. Необходимо иметь математическое описание системы.
2. Сложность применения для систем высокого порядка.
Рассмотрим примеры определения устойчивости по критерию Гурвица.
Пример 1. Определить устойчивость системы, если ее характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости не выполняется, следовательно, система не устойчива.
Пример 2. Определить устойчивость если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
.
Решение:
1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
2. Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
.
Условие устойчивости выполняется, следовательно, система устойчива.
Пример 3. Для заданной системы (рис. 1) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
Решение:
3. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
4. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
5. Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
4. Определим критический коэффициент усиления
3. Критерий устойчивости Михайлова
Для оценки устойчивости систем управления кроме алгебраических критериев, используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.
Доказательство частотных критериев базируется на следствии из принципа аргумента.
Допустим, задан полином
(7)
|