Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр

Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротато­ре однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т ), т.е. уровни, вы­раженные в единицах измерения волнового числа (см–1 ) , являющегося характеристикой излучения

(4.105)

. (4.105)

(4.107)

Величина В, определяемая (4.107), называется вращательной постоянной ротатора.

4.3.7.2. Обозначим величину и составим таблицу 4.5 воз­можных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. 4.5. предста­вим его энергетическую диаграмму.

4.3.7.3. Подобно плоскому ротатору, энергетическая диаграмма жесткого ротатора демонстрирует расходящуюся систему уровней, одна­ко значительно возрастает кратность вырождения. Расстояния между соседними уровнями увеличиваются с ростом квантового числа l, причем они линейно связаны с квантовым числом нижнего уровня l:

. (4.108)

Таблица 4.5.

Уровни жесткого ротатора

l	Символ уровня	Энергия Е,	Вырождение g=2l+1
0	S	0	1
1	P	2	3
2	D	6	5
3	F	12	7
4	G	20	9

Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма жесткого ротатора.

Для жесткого ротатора, например, двухатомной молекулы, разрешены спектральные переходы между соседними уровнями . Поэтому, согласно уравнению 4.108, ее спектр пред­ставляет собой набор линий, отстоящих друг от друга на примерно одинаковую величину, равную в энергетической шкале, или 2В в шкале волновых чисел .

Поскольку вращательная постоянная связана с моментом инерции, изучение вращательных спектров молекул даёт возможность эксперимен­тального определения момента инерции молекул и, следовательно, меж­атомных расстояний.

4.3.3. Волновые функции жёсткого ротатора

4.3.8.1. Использование операторов сдвигов состояний позволяет также максимально просто найти собственные функций операторов и без каких-либо специальных сведений о дифференциаль­ных уравнениях. Авторы сознательно построили настоящий раздел в расчёте на внимательного читателя-химика, владеющего лишь мини­мальными, но достаточно прочными навыками в области тригонометрии и математического анализа.

4.3.8.2. Прежде всего, выпишем операторы повышения и понижения в сферических координатах, используя формулы (4.53) и (4.54):

(4.109)

В силу того, что собственные функции, получающиеся в результате действия операторов сдвига, подлежат нормировке, как это уже об­суждалось в разделе 4.3.5.10., мы имеем все основания определить эти операторы с точностью до постоянного множителя, т.е. вместо (4.109) ограничимся выражением

(4.110)

4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции

(4.111)

На основании формул (4.50) и (3.28) функцию мож­но представить в виде

(4.112)

С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме

. (4.113)

Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функции:

откуда следует (4.114)

4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем

(4.115)

Учтём что ,

(4.116)

Интегрирование уравнения (4.116) даёт

(4.117)

где – постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции

(4.118)

4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волно­вых функций , отвечающие максимальному и минимальному значе­ниям квантового числа m, а именно и , или что то же самое . Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям очень просто получаются последовательным действием операторов с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае

4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читате­лем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется сли­шком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей ред­ко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l = 0, 1, 2, 3, по­этому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).

4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s–, p–, d–, f– орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции и , с точностью до постоянного множителя:

для s-состояния и

для p- состояния и

для d- состояния и

для f- состояния и

4.3.8.8. Орбиталь s –типа – лишь одна и волновая пункция тре­бует только нормировки. Поскольку сомножитель уже нормирован, достаточно пронормировать функцию . Выделяя из эле­мента конфигурационного пространства (см. рис 4.3) все со­множители, определенные на переменной , получаем

и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид

(4.119)

Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоян

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать