Закон кубов Дебая

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

Кафедра физики

Реферат

на тему:«Закон кубов Дебая»

Выполнил студентгруппы 18-13В Гонтарь И. В. Преподаватель: Мухетдинова З. З.

Альметьевск 2010

Содержание:

1. Энергия кристаллической решетки …………………………… 3

2. Модель Эйнштейна …………………………………………….. 6

3. Модель Дебая ………………………………………………….. 7

4. Закон кубов Дебая ……………………………………………… 8

5. Достижения Дебая ……………………………………………… 9

6. Список литературы …………………………………………….. 12

Энергия кристаллической решетки

Особенность твердого тела - наличие дальнего и ближнего поряд­ков. В иде­аль­ном кристалле частицы занимают определенные положения и не надо учи­тывать N! при статистических расчетах.

Энергия кристаллической решетки одноатомного кристалла состоит из двух ос­новных вкладов: E = U_o + E_кол . Колеблются атомы в решетке. У многоатомных частиц, образующих кристалл, надо учитывать и внутренние степени свободы: коле­ба­ния и вращения. Если не учитывать ангармоничность колебаний атомов, дающую зависимость U_o от температуры (изменение равновесных положений атомов), U_o можно приравнять потенциальной энергии кристалла и не зависящей от Т. При Т = 0 энергия кристаллической решетки, т.е. энергия для удаления частиц кристалла на бес­­­­конечное расстояние будет равна Е_кр = - E_о = - ( U_o + E_о,кол ).

Здесь E_о,кол - энер­гия нулевых колебаний. Обычно эта величина имеет поря­док 10 кДж/ моль и много меньше U_o. Считают Екр = - Uo. (Метод наибольшего слагаемого). Екр в ионных и молеку­лярных кристаллах до 1000 кДж/моль, в молеку­ляр­ных и в кристаллах с водород­ны­ми связями: до 20 кДж/моль (СР₄ - 10, Н₂ О - 50). Величины опре­де­ля­ют из опыта или считают на основе какой-либо модели: ионное взаимодействие по кулону, ван-дер-ваальсовы силы по потенциалу Сазерленда.

Рассмотрим ионный кристалл NaCl, имеющий гранецентрированную кубичес­кую решет­ку: в решетке у каждого иона 6 соседей противоположного знака на рас­сто­янии R, в следующем втором слое 12 соседей того же знака на расстоянии 2^1/2 R, 3-ий слой: 8 ионов на расстоянии 3^1/2 R, 4-ый слой: 6 ионов на расстоянии 2R и т.д.

Потенциальная энергия кристалла из 2N ионов будет U = Nu, где u - энергия энергия взаимодействия иона с соседями. Энергия взаимо­дей­ствия ионов состоит из двух чле­нов: короткодействующего отталкивания за счет ва­лентных сил (1-й член) и притяже­ния или отталкивания зарядов: знак + для отталкивание одинако­вых, - притяжения разных ионов. e -заряд. Введем величину приведенного расстояния р_ij = r_ij / R, где r_ij - рас­стояние между ионами, R - параметр решетки.

Энергия взаи­мо­­действия иона со всеми сосе­дями где

постоянная Маделунга = 6/1 - 12/2^1/2 + 8/3^{1/2 -} 6/2 + .... Здесь - для оди­на­ковых по знаку заряда ионов, + для разных. Для NaCl a = 1,747558... A_n = S 1/ p_ij ⁿ в первом члене. Расстояние R_o (половина ребра куба в данном случае) отвечает ми­ни­­муму по­тен­циальной энергии при Т = 0 и его мож­но определить из данных крис­тал­лографии и зная потенциал отталкивания. Очевидно, что и тогда

От­­сюда находим A_n и энергия или .

n - параметр по­тенциала отталкивания и обыч­­но ³ 10, т.е. основной вклад вносит кулоновское взаимодействие (считаем при этом, что R заметно не зависит от Т), а отталкива­ние дает менее 10%.

Для NaCl кулоновское взаимодействие 862, отталкивание 96 кДж/моль (n = 9). Для молекулярных кристаллов можно считать по потенциалу 6-12 и энергия будет равна

z₁ - число атомов в 1-ой коорди­на­ци­онной сфере, R₁ - ра­диус первой координационной сферы, b - параметр потен­циала.

Для неионных кристаллов надо учитывать колебательную составляющую энер­­гии. Поступательные и вращательные движения при абсолютном нуле от­сут­ст­ву­ют. Остается колебательная составляющая энергии. Колебаний 3N - 6, но посту­пате­льные и вращательные относятся к кристаллу в целом. Грубо можно счи­тать 3N, т.к. N (велико, число частиц в кристалле). Тогда все 3N степеней свободы крис­тал­ла из N час­тиц колебательные. В принципе легко посчитать сумму по состояниям и тер­моди­на­ми­ческие функции. Но надо знать спектр частот колебаний кристалла. Дело в том, что смещение частицы вызывает смещение других и осцилляторы связа­ны. Полная сумма по состояниям колебательного движения будет определена:

.

Т.к. это кристалл, то на N ! делить не надо. Средняя энергия равна производной lnZ по Т при постоянном V, умноженной на kT² . Отсюда энергия решетки равна сумме вкладов потенциаль­ной и колебательной энергии,

а энтропия S = E/ T + k ln(Z).

Для расчета используют две основные модели.

Модель Эйнштейна

Все частоты считаются одинаковыми: совокупность одно­мер­­­ных гармонических осциллятров. Сумма по состояниям трехмерного осциллято­ра состоит из 3 одинаковых членов q = [ 2sh(hn/ 2kT)]^-3 . Для N частиц будет 3N сом­но­­жителей. Т.е. энергия

При

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать