Квантовая статистика

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана.

Калужский филиал

“Квантовая статистика”

СОДЕРЖАНИЕ

Квантовая статистика. 3

Принцип тождественности. 3

Принцип Паули на неё не распространяется. 5

Формулы Ричардсона и Ричардсона-Дэшмана. 11

Литература.. 15

Квантовая статистика

Квантовая статистика исследует физические свойства систем одинаковых микрочастиц, например, электронов, фотонов, - частиц и т.д.

Поведение совокупности частиц одного сорта описывается волновой функцией

(1)

q1,q2 - обобщённые координаты.

Квантовая статистика систем одинаковых микрочастиц допускает два класса функций: симметричные, сохраняющие свой знак при перестановке двух частиц:

антисимметричные, меняющие знак при перестановке:

Эти два класса функций не могут переходить друг в друга.

Принцип тождественности

Принцип тождественности: частицы одного и того же сорта не могут иметь никаких различимых особенностей. Потому взаимная перестановка двух одинаковых частиц не изменяет физического состояния системы.

В квантовой теории доказывается, что волновая функция всегда остаётся симметричной или антисим-метричной, т.е. какой она была в начальном состоянии.

Принадлежность частиц к тому или иному классу зависит от величины их собственного момента, иначе - спина.

Частицы, спин которых равен полуцелому числу квантов действия Планка , описывается антисимметричными - функциями. Эти частицы называются частицами Ферми, или фермионами, а описывающая их статистика называется статистикой Ферми-Дирака.

Электроны, позитроны, протоны, нейтроны, атомы, ионы, атомные ядра, состоящие из нечётного числа элементарных частиц, имеют полуцелый спин. Все они описываются статистикой Ферми-Дирака.

Например: статистике Ферми-Дирака подчиняются

Частицы с целочисленным спином , описываются симметричными - функциями. Они называются частицами Бозе или бозонами. Применяемая к ним статистика называется статистикой Бозе-Эйнштейна. Ей подчиняются микрочастицы, состоящие из чётного числа элементарных частиц.

Например:

ядра дейтерия

имеют спин, равный целому числу постоянных Планка . Частицы света (фотоны) имеют спин, равный нулю.

В квантовой механике частицы неразличимы.

Принцип Паули следует из свойств антисимметричных волновых функций в данном квантовом состоянии может находиться только одна микрочастица.

Классические частицы подчиняются статистике Максвелла-Больцмана.

Три статистики.

Две квантовые и одна классическая статистика

Максвелла-Больцмана.

ab
ba
b	a
a	b

4 состояния, частицы различимы, энергия может иметь как: дискретный, так и непрерывный спектр. Ей соответствует функция распределения Максвелла-Вольцмана

Принцип Паули на неё не распространяется

Статистика Бозе-Эйнштейна:

aa	-
-	aa
a	a

Частицы неразделимы, целый спин. Принцип Паули не распространяется. Ей соответствует функция распределения Бозе-Эйнштейна. Энергия дискретна.

Статистика Ферми-Дирака:

a

a

Частицы неразличимы, полуцелый спин, принцип Паули: в одном квантовом состоянии не может быть больше одной частицы. Каждое квантовое состояние либо заполнено единственной микрочастицей, либо не заполнено. Энергия дискретна. Ей соответствует функция Ферми-Дирака

Итак свойства твёрдых тел определяются свойством электронного газа, т.е. статистикой Ферми-Дирака, которая изучает свойства систем, состоящих из большого числа частиц. Важное значение имеет функция распределения частиц по энергиям n(E). Через dn обозначают число частиц в единице объёма, энергия которых заключена в бесконечно узком интервале энергии от Е до E+dE.

dn=n(E) dE (1)

Функция n(E) позволяет рассчитать число частиц в единице объёма, энергия которых заключена в конечном интервале от E1 до E2.

(2)

Если через n0 обозначить общее число частиц в единице объёма безотносительно к значению их энергий, т.е. концентрацию частиц, то из (2) вытекает следующее условие нормировки для функции распределения:

(3)

Различные частицы системы имеют различные значения энергии, причём функция n(E) характеризует распределение частиц по энергиям. Зная n(E), можно рассчитать среднее значение энергии частиц данной системы:

(4) или (5)

Зная функцию распределения частиц по энергиям, можно найти среднее значение любой физической величины А(Е), зависящей от энергии частицы, Например, скорость частицы

Среднее значение А(Е) в системе частиц с известной функцией распределения n(E) определяется по формуле:

(6)

В классической статистике Максвелла-Больцмана, которая применима к классическому газу, эта функция распределения зависит от значений абсолютной температуры газа Т и имеет вид:

(7)

В квантовой статистике Ферми-Дирака, которая применима к системе квантовых частиц, имеющих полуцелый спин и подчиняется принципу запрета Паули (мелкие част

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать