Додавання гармонічних коливань

РЕФЕРАТ

на тему:”Додавання гармонічних коливань”

План

1. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття.

2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.

3. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування.

1. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти. Биття

Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань

(1)

Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою

Або

(2)

Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

Так-як вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

(3)

або з урахуванням того, що одержуємо:

Рис.1

(4)

і

(5)

Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює

(6)

Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо

(7)

Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.

Якщо де (), то ;

Якщо де (), то .

Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:

(8)

Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і (). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами і близькими циклічними частотами і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому

(9)

(10)

Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .

Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття

(11)

Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою

(12)

Вираз (12) підставимо в (11)

. (13)

або

(14)

Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)

(15)

Результуюче коливання биття матиме вигляд:

(16)

де – амплітуда биття.

Рис.2

Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):

Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття

, звідки (17)

Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою

, звідки (18)

Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено

(19)

За час відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому

(20)

З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться

(21)

звідки а для частот

В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:

(22)

Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.

2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу

Нехай матеріальна точка С одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою циклічною частотою у взаємо перпендикулярних напрямках (рис. 4).

При збудженні коливань матеріальна точка С буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Рівняння коливань точки в напрямках осі x і осі y матимуть вигляд

(23)

де – спільна різниця фаз цих коливань.

Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь час t.

Рис.4

В результаті отримаємо

(24)

Рівняння (24) є рівнянням траєкторії результуючого коливання точки С. Це рівняння є еліпсом, осі якого повернуті відносно осей x і y. Орієнтація еліпса і величина його півосей залежить від амплітуд і і різниці фаз .

Розглянемо окремі випадки.

1. Нехай , де Тоді

Звідки

(25)

Результуюче коливання є гармонічним коливанням вздовж прямої з частотою ω і амплітудою (рис.5).

Рис.5

Пряма утворює з віссю x кут

2. Нехай де

У цьому випадку

Звідки

(26)

Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис.6).

3. Нехай де В результаті одержуємо рівняння

(27)

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 7). Якщо , то еліпс перетворюється в коло.

Рис.6

Рис.7

Два окремі випадки і відрізняються напрямком коливання по еліпсу або по колу.

У випадку, коли циклічні частоти взаємно перпе

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать