Теорема тейлора
Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения
Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).
Функция, аналитическая в области комплексных чисел D , в окрестности каждой точки z 0 этой области представляется в виде степенного ряда :
(1)
радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z 0 до границы области D .
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.
Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:
(2)
где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z 0 (в частности, - окружность ), или по формуле:
(3)
Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z 0 до ближайшей особой точки функции.
Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:
Основные разложения.
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
Пример 1 . Записать разложение по степеням z функции f (z ) = ch z .
Найдем производные функции:
f (n) (z ) = ch(n) z = ch z при n= 2k ,
f (n) (z ) = ch(n) z = sh z при n = 2k -1.
В данном примере z 0 = 0. По формуле (3) имеем:
Cn = 0 при n = 2k ; Cn = 1/n ! при n = 2k- 1;
.
Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
(z принадлежит области действительных чисел).
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 2 . Разложить по степеням (z -3) функцию f (z ) = sin z .
Обозначим z -3 = t . Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t ) = sin3 cos t +cos3 sin t .
Используя основные разложения, имеем:
Так как t = z -3, то
т.е.
где
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 3 . Разложить по степеням z функцию
Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:
Раскладываем элементарные дроби по степеням z :
Для исходной дроби получаем разложение:
или, складывая ряды:
Окончательный ответ:
Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция f (z ), аналитическая в кольце
r < | z - z 0 | < R ,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z 0 ; в частности,
- окружность
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f (z ).
Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или
Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f (z ) - его суммы.
Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z 0 (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z 0 = 0, ).
При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Пример 1. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z .
Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z 1 = -1 и z 2 = 3. Запишем функцию в виде
Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.
Раскладываем дробь на элементарные дроби:
При | z | < 1 имеем:
Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:
В кольце 1 < | z | < 3:
В итоге имеем:
В круге | z | > 3:
В итоге имеем: