Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики
Белорусский государственный университет
Факультет радиофизики и электроники
Реферат
«Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики»Реферат подготовил
студент I курса группы №7
Константин Мулярчик.
Преподаватель:
Янукович Татьяна Петровна .
Минск
2004
Колебания – такие процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, повторяются с течением времени. Например, колебания маятника в маятниковых часах, суточные колебания освещённости данного участка Земной поверхности и т.д.
Вынужденные колебания - колебания системы, возникающие под воздействием внешней вынуждающей силы. Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой. Обычно принимают, что внешняя периодическая сила изменяется по гармоническому закону .
| Рис. 1 Система с вынужденными колебаниями |
| Рис. 2 Силы, действующие в системе |
Рассмотрим колебательную систему, показанную на рисунке 1.
Она состоит из горизонтального пружинного маятника и кривошипо-шатунного механизма. Кривошипо-шатунный механизм - механизм, который преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное.
Тогда II-й закон Ньютона для данной системы запишется в виде:
| , | (1) |
где - масса тела, – его ускорение, - сила тяжести, - сила реакции опоры, - сила вязкого трения (), - внешняя вынуждающая сила, - сила упругости пружины ().
В проекции на ось x :
| (2) |
введём замены: , , получим:
| (3) |
Введём обозначения ( – показатель затухания, - коэффициент сопротивления), ( – циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствие трения), – приведённая сила. Тогда можем переписать уравнение в общем виде:
| (4) |
Уравнение (4) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (с правой частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решения однородного уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решение неоднородного уравнения в целом.
Однородное уравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение затухающих колебаний
1.
2.
3.
4.:
a.
| (5) |
Решением этого уравнения является функция:
| , где . | (6) |
Частное решение неоднородного уравнения в целом будем искать следующим образом. Как показывает практика, не зависимо от начальных условий осциллятора через достаточно большой промежуток времени (время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебания с частотой вынуждающей силы и амплитудой , зависящей от частоты .
| Различные случаи установления гармонических колебаний: | |
| Рис. 3 Случай разгорания для | Рис. 4 Произвольный случай разгорания |
Здесь – это время разгорания колебаний.
Это значит, что через достаточно большой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь. Действительно в (6) при ,. Таким образом
| , | (7) |
где - амплитуда установившихся колебаний с частотой - частотой внешней вынуждающей силы, - сдвиг фаз между смещением и фазой внешней силы.
Найдем, чему равны и при частоте внешней силы . Для этого найдем 1-ю и 2-ю производные от (7):
| (8) |
| (9) |
И подставим (7), (8), (9) в (4):
,
немного преобразуем:
и получим:
Данное уравнение будет справедливо при любом , если коэффициенты при и будут равны нулю:
Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы:
| (10) |
| (11) |
Исследуем выражение (11) на экстремумы. Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражение в (11) будет минимальным. Обозначим . Запишем условие экстремума подкоренного выражения:
Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:
| и | (12) |
| . | (13
Оценок: 1000 (Средняя 5 из 5)
Одними из наиболее популярных услуг на рынке IT-технологий являются создание и продвижение лендингов. Они способны положительно влиять на деятельность любого бизнес-проекта в интернете. Судя по многочисленным отзывам, заказавшие создание лендингов люди ни разу не пожалели о потраченных деньгах. Они вложили в будущее, которое неразрывно связано с интернетом. Всё больше и больше предпринимателей обращаются к услугам разных агентств, веб-студий, чтобы заказать создание лендинга у профессионалов. © 2017 - 2022 ReferatWorld.ru
|