Векторная алгебра 3

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a+b=b+a (коммутативность)

(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)

a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, - a есть вектор, противоположный вектору а . Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением l x вектора а на число l в случае l № 0 , а № О называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , если l >0, и в противоположную, если l <0 . Если l =0 или (и) a =0, то l a=0 . Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

l *(a+b)= l *a+ l *b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

( l +u)*a= l *a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

l *(u*a)=( l *u)*a (ассоциативность)

1*a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a , b ,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

a a+ b b+… g c=0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a , b ,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e 1 ,e 2 ,e 3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a=a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 .

Числа a 1 ,a 2 ,a 3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a 1 ,a 2 ,a 3 } .

Два вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } ,b № 0, является пропорциональность их соответствующих координат: a 1 = l b 1 ,a 2 = l b 2 ,a 3 = l b 3 . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } , b={b 1 ,b 2 ,b 3 } и c={c 1 ,c 2 ,c 3 } является равенство :

| a 1 a 2 a 3 |

| b 1 b 2 b 3 | = 0

| c 1 c 2 c 3 |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны суммам соответствующих координат: a+b={a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3 } . Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l :

l а= { l а 1 , l a 2 , l a 3 }.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:

(а, b) = | а |*| b | cos j .

За j принимается угол между векторами, не превосходящий p . Если а=0 или b=0 , то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l (a,b)=( l a,b) =(a, l 6) (сочетательность относительно умножения на число),

(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a ^ b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :

a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 }

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

(a,b)=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3

Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 }

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

, , .

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

cos 2 a +cos 2 b +cos 2 g =1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е . Проекции обладают свойствами:

Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность),

Пр. е a = Пр. е l a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соотв

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать