Определители

Муниципальное образовательное учреждение – гимназия № 47

Реферат по математике ученицы 8 г класса Годуновой Екатерины

г.Екатеринбург, 2000г.

Введение

Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750 году швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через Определители , составленные из коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала применяться во всех математических науках.

В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей

Определители второго порядка.

Рассмотрим систему уравнений:

a1x + b1y = с1

a2x + b2y = с2

Данную систему можно решить традиционными методами - подстановки и сложения уравнений. Однако, в ряде случаев оказывается легче применить определители

Представим систему в виде квадратной матрицы:

| a1 b1 |

А = | |

| a2b2 | .

число а1b1– а2b2 называют определителем системы и обозначаютdetA или D

| a1 b1 | | a1 b1 |

Dx = | | , Dy = | |

| a2 b2 | | a2 b2 |

Определитель Dx получается из D заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично Dy.

Возможны три случая:

Случай 1: определитель системы не равен нулю: D ¹ 0. Тогда система имеет единственное решение: x = Dx/D , y= Dy/D.

Случай 2: определитель системы равен нулю: D = 0 (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей Dx, Dy не равен нулю (т.е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). В этом случае системы не имеет решений.

Случай 3: D = 0, D x = 0, D y = 0 (т.е. коэффициенты и свободные члены пропорциональны). Тогда одно из уравнений есть следствие другого: система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим несколько примеров решения систем двух уравнений с двумя неизвестными методом определителей.

Пример 1. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8

7x - 5y = -3

| 2 3 | | 8 3| | 2 8 |

D= | | = -31 Dx = | | = -31 Dy = | | = - 62

| 7 -5 | | -3 -5| | 7 -3 |

Система имеет единственное решение.

х = Dx/D =1 y = Dy/D = 2

Пример 2. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8

4x + 6y = 10

| 2 3 | | 8 3|

D = | | = 0, при этом Dx = | |= 18 ¹ 0. | |

| 4 6 | | 10 6 |

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Пример 3. Решить систему уравнений:

2x + 3y = 8

4x +6y = 10

| 2 3 | | 8 3 | | 2 8 |

D = | |= 0 Dx = | | =0 Dy = | | =0

| 4 6 | | 16 6 | | 4 16 |

Одно из уравнений есть следстввие другого (например, второе получается из первого, умножая на два). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений.

Определители третьего порядка.

Решение систем из трех линейных уравнений с тремя неизвестны-ми также можно решить методом определителей .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

| a1b1c1 | называется выражение D = а1b2c3 – a1b3c2 + b1c2a3 –

А= | a2 b2 c2 | b1c3a2 + c1a2b3 – c1a3b2

| a3 b3 c3 |

или, если выразить его через определители 2-го порядка:

| b2 c2| | a2 c2 | | a2 b2 |

a1 | | - b1 | | + c1 | |

| b3 c3| | a3 c3 | | a3 b3|

Определители n –го порядка

Определителем квадратной матрицы n-го порядка А, где

| a11 a12 …a1n | | a22 a23…a2n |

| a21 a22 … a2n | называют число D = a11 | …………… | -

A = | ………………… | | an2 an3…annn|

| an1 an2 … ann |

| a21 a23…a2n | | a21 a22…a2(n-1)|

- a12 | ………….. | +…+ (-1)n+1a1n | ……………. |

| an1 an3…ann | | an1 an2…an(n-1) |

т.е. мы имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из из множителей – элемент первой строки, а другой – определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит первый множитель.

Например:

| 4 1 3 5 |

| 2 3 2 1 | | 3 2 1 | | 2 2 1 | | 2 3 1 | | 2 3 2 |

| 5 2 1 4 | = 4 | 2 1 4 | - 1 | 5 1 4 | + 3 | 5 2 4 | - 5 | 5 2 1 |

| 11 6 5 10| | 6 5 10| | 11 5 10 | |11 6 10 | | 11 6 5 |

= 4( 3(10-20) – 2(20-24) + 1(10-6)) – 1( 2(10-20) –2(50-44) + 1(25-11)) +

+ 3( 2(20-24) – 3(50-44) + 1(30-22)) –5( 2(10-6) – 3(25-11) +2(30-22)) = -28

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменяется, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

Пример 1:

| a1 b1 | | a1 a2 | | 2 3 | | 2 7 |

| | = | | | | = 2(-5) - 73 = -31 = | |

| a2 b2 | | b1 b2 | | 7 -5 | | 3 -5 |

2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-нибудь двух столбцов абсолютное значение определителя остается прежним, а знак меняется на обратный.

| a1 b1 c1 | | a1 b1 c1 | (переставлены вторая и третья строки)

| a2 b2 c2 | = - | a3 b3 c3 |

| а3 b3 c3 | | a3 b3 c3 |

Пример 2: | 2 3 | | 5 7 |

| 5 7 | = - | 2 3 |

3. Определитель, у которого элементы одн

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать