Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3 2

Файл : FERMA-n3 - new

© Н. М. Козий, 200 9

Украина, АС № 2 8607

Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ Ф ЕРМА

ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

А ⁿ + В ⁿ = С ⁿ (1)

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

А ⁿ = С ⁿ -В ⁿ (2)

Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:

A³ = C³ – B³ = (C-B)∙(C² + C·B +B² ) (3)

Обозначим: C – B = K (4)

Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)

Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:

A³ = K[C² + C∙(C-K) + (C-K)² ] =3K·C² -3K² ∙C +K³ (6)

Отсюда:3K·C² -3K² ∙C – ( A³ – K³ ) = 0 (7)

Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и К и переменной величиной С .Решая его, получим:

C = (8)

Число C будет целым только при условии, если:

=3N∙K² (9)

Отсюда: 12K∙A³ – 3K⁴ = 9N² ·K⁴

A³ = K³ ∙ (10)

A = K (11)

Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.

Из анализа формулы (10) также следует, что если A – целое число, то должно быть:

A³ = K³ ∙ Y³ , (12)

где: Y³ = (13)

Отсюда: A = K∙ Y = K (14)

Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:

S_n = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15)

По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:

S_N = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16)

где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14).

Тогда: S_N = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} = (17)

Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):

Y³ = 1 + 6∙S_N (18)

Из уравнения (18) следует, что все числа Y³ нечетные.

Из уравнений (17) и (18) получим:

Y³ = 1 + 6∙ = , т.е. получили уравнение (13). (19)

т.е. получили уравнение (13).

Из уравнения (19) следует: Y = (20)

Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:

Y³ = 1 + 6∙ = 1 + 6∙S_N (21)

Из уравнения (21) следует: S_N = (22)

Полагаем, что Y - целое число . Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма S_N была целым числом, число Y должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y , определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы S_N :

Y = 3, S_N = 4,333…; Y = 5, S_N = 20,666…; Y = 7 , S_{N 1} = 57;

Y = 9, S_N = 121,333…; Y = 11, S_N = 221,666…; Y = 13 , S_{N 2} = 366;

Y = 15, S_N =562,333…; Y = 17, S_N = 818,666…; Y = 19, S_{N 3} = 1143; Y = 21, S_N =1543,333…; Y = 23, S_N = 2027,666…; Y = 25, S_{N 4} = 2604.

Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y , для которых сумма S_N – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать