Математичне моделювання та диференціальні рівняння

Реферат на тему:

Математичне моделювання

та диференціальні рівняння.

1.1. Поняття математичного моделювання.

Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом пибудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку,як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів.

Схема таких досліджень починається з постановки задачі і щакінчується проведенням ефективного обчислювального експеременту. Її умови можна записати в такй формі:

а) постановка задачі;

б) побудова математичної моделі;

в) перевірка її адекватності;

г) узагальення та теоретичне дослідження данного класу задач;

д) створення програмного забезпечення;

е) проведення обчислювального експеременту;

ж) впровадження цих результатів в виробнитство.

Розглянемо питання використання диіеренціальних рівнянь в деяких предметних областях.

1.2. Диференціальні рівняння в екології.

Екологія вивчаеє взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним об’єктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).

Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.

Нехай – кількісний стан популяції в момент , – число, яке відповідає кількості народжених, – умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати задається формулою:

(1.1)

В (1.1) і можуть залежити від . Наприклад:

(1.2)

Де – коефіцієнт народжуваності, – смертності. Маємо з (1.2)

(1.3)

Розв’язок диференціального рівняння запишемо в вигляді

З розв’язку (1.4) видно, що при популяція вижчваюча, а при – вмираюча.

(1.4)

Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне

(1.5)

Це рівняння Беруллі при і його розв’язок запишеться в такому вигляді

(1.6)

З формули (1.6) видно, що при . При цьому можливі випадки

, та

Рівняння (1.5) описує.

Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.

Розглянемо більш детально двух видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.

Нехай –число великих риб-хижаків, – число малих риб-жертв в момент часу , тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменьшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд

(1.7)

де – додатні константи.

В (1.7) доданок виражає залежність прирісту великих риб від числа малих, – зменьшення числа малих риб від великих.

1.3. Закони Кеплера руху планет.

Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходятся на віддалі друг від друга і які мають маси і притягаються з силою

(1.8)

де - константа тяжіння.

Опишемо рух планети з масою навколо Сонця маси . Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).

Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення в момент часу . Використавши другий закон Ньютона маємо:

(1.9)

Враховуючи, що

Позначимо , прийдемо до системи

(1.10)

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:

при (1.11)

Перейдемо до полярних координат:

Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати

Помножимо перше рівняння на ,друге на і складемо:

(1.12)

Домножимо перше рівняння на ,друге на і складемо:

(1.13)

Перепишемо в нових змінних умови (1.11):

Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді

(1.14)

(1.15)

Звідки маємо

(1.6)

Константа має цікаву гнометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора обчислюється за формулою

Звідки

(1.17)

,або

Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.

1-ій закон Кеплера : кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.

Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’зок має еліпсоідальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:

2-ій закон Кеплера : траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

З аналізу траєкторій випливає таке твердження:

3-ій закон Кеплера : ква

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать