Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші

з дисципліни: „Вища математика”

Розділ 6: „Диференціальні рівняння”

на тему:

„Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Задача Коші.”

1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами.

Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

1

дедійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді , де - стала(дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію в рівняння 1, дістанемо

Оскільки то

2

Отже, якщо буде коренем рівняння 2, то функція буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.

Позначимо корені характеристичного рівняння через можливі три випадки:

І. і дійсні і різні числа

ІІ. і комплексні числа);

ІІІ. і - дійсні і рівні числа ;

Розглянемо кожен випадок окремо.

І. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння 1 є функції

Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при

.

Загальний розв’язок рівняння 1 знаходять за формулою .

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:

Підставивши значення та у формулу ,знайдемо розв’язки

За формулою Ейлера

маємо

Зауважимо ,що коли функція є розв’язком рівняння 1, то розв’язками будуть також функції та. Дійсно, підставивши функції в рівняння 1, дістанемо:

або

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає ,що функціїта - розв’язки рівняння 1.Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння 1 є функції .

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді

3

ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: За формулою дістанемо один з розв’язків :.

Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де невідома функція від . знайшовши та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:

або

Оскільки- корінь рівняння 2, тоі за теоремою Вієта, тому і звідки де довільні сталі. Поклавши(нас цікавить розв’язок ), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:

Розв’язки - лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:

.

Приклад 1:

Розв’язати рівняння:.

Розв’язання :

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені за формулою шуканий розв’язок має вигляд:

.

Приклад 2:

Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Характеристичне рівняння має комплексні корені Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:

.

Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

4

де - задані дійсні числа, - задана функція неперервна на деякому проміжку .

Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного

розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

, 5

де - дійсне число, - многочлен степеня .

Можливі такі випадки:

а) число не є коренем характеристичного рівняння

6 Тоді диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду

, 7 де - невизначені коефіцієнти.

Справді, підставляючи функцію 7 в рівняння 4, після скорочення на дістанемо

8 де - многочлен степеня - многочлен степеня і - многочлени степеня .Таким чином зліва і справа в тотожності 8 стоять многочлени степеня .Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомих коефіцієнтів многочлена .

Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму, в якій потрібно шукати частинний розв’язок рівняння 4 , залежно від виду правої частини цього рівняння;

б) якщо число збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді

; 9

в) якщо число є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв’язок рівняння 4 шукають у вигляді

.

Об’єднаємо випадки а)-в): якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

,

де- многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен ,а - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють . Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо .

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать