Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

1.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :

(x,y) ÎD ; u|_Г =xy² =f(x,y) ;

область D ограничена линиями: x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;

(x₀ , y₀ ) = (3, 5) .

Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1 . Точность решения СЛАУ e=0.01 .

3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.

Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.

1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область D_h путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: y_i =y₀ ± ih, x_j =x₀ ± ih , i,j=0,1,2…. РР Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (x_i ,y_j ).

2. За область D_h принимают те точки множества (x_i ,y_j ) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.

3.Во всех точках области D_h вычисляются значения функции f(x_i ,y_j ) .

4. За область D_h * принимаются все внутренние точки области D_h , т.е. удовлетворяющие требованию:

(x_i ,y_j ) Î D_h * , если (x_i+1 ,y_j ) Î D_h , (x_i-1 ,y_j ) Î D_h , (x_i ,y_j+1 ) Î D_h , (x_i ,y_j-1 ) Î D_h .

5. Во всех точках области D_h * вычисляется функция F_(N) *[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):

F_(N) *[i,j]=(f(x_i+1 ,y_j ) + f(x_i-1 ,y_j ) + f(x_i ,y_j+1 ) + f(x_i ,y_j-1 ))/4

6. Теперь если max | F_(N+1) *[i,j] - F_(N) *[i,j]|< e,взятый по всем точкам области D_h * ,то задача решена;

если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию F_(N) *[i,j] через значения F_(N-1) *[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.

3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

#include <stdio.h>

#include <fstream.h>

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

int i,j,k; // Variables

float h,x,y,tmp,E1;

struct point {

float xx;

float yy;

int BelongsToDh_;

int BelongsToDh;

float F;

float F_;

} p0,arrayP[13][33];

float arrayX[13];

float arrayY[33];

float diff[500];

void CreateNet(void); // Procedure Prototypes

int IsLineFit(float Param);

void CrMtrD(void);

void RegArrayX();

void RegArrayY();

void CreateDh_();

int IsFit(point Par);

void FillF();

void CreateDh();

int IsInner(int i,int j);

void FillF_();

void CountDif();

void MakeFile();

void main(void) //MAIN

{

clrscr();

p0.xx = 3;

p0.yy = 5;

h = 0.2;

p0.BelongsToDh_=1;

p0.BelongsToDh=1;

CreateNet();

RegArrayX();

RegArrayY();

CrMtrD();

CreateDh_();

FillF();

CreateDh();

FillF_();

CountDif();

while (E1>=0.005) {

for(i=0;i<13;i++)

for(j=0;j<33;j++) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].F_;

FillF_();

CountDif();

}

cout<<(0-arrayP[7][17].F_);

MakeFile();

getchar();

} //MAIN END

int IsLineFit(float par,char Axis) // does the line belong to the defined area

{

switch(Axis) {

case 'y': if ((par>8.0) || (par<2.0)) return 1;

else return 0;

case 'x': if (par<1.9) return 1;

else if (par>4.0) return 1;

else return 0;

}

}

void CreateNet(void) // Creation of Net (area D )

{

x = p0.xx;

i=0;

arrayX[i]=x;

while (!IsLineFit(x,'x'))

{

x += h;

i++;

arrayX[i] = x;

}

x = p0.xx-h;

i++;

arrayX[i]=x;

while (!IsLineFit(x,'x'))

{

x -= h;

i++;

arrayX[i] = x;

}

for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); }

printf("n");

y = p0.yy;

i = 0;

arrayY[i]=y;

while (!IsLineFit(y,'y'))

{

y += h;

i++;

arrayY[i] = y;

}

y = p0.yy - h;

i++;

arrayY[i]=y;

while (!IsLineFit(y,'y'))

{

y -= h;

i++;

arrayY[i] = y;

}

for(i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i])

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать